2018年山西农业大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
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2． 设三阶方阵A
、B
满足
式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵
.
若
求行列
【答案】由矩阵知则. 可
逆
. 又故即
所以即而
故
3． 已知A 是
3阶矩阵，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ;
（Ⅱ
）求A 的特征值和特征向量： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
是
3维线性无关列向量
，且
令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
（
Ⅱ）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，由
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即
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得
所以
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是全为
0.
（Ⅲ）由
4． 设B
是
（I
）证明（II
）证明
（III
）若
【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
知矩阵
且A 可对角化，求行列式
逆
故
其中
E 是
n 阶单位矩阵.
芄中不
或1.
又存在可逆矩阵p ,
使或1.
二、计算题
5．
在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q
的城镇居民移居农村. 假设该国总人数不变，且上述人迁移的规律也不变. 把n 年后农村人和城镇人占总人的比例依次记为和
（1）求关系式
中的矩阵A ;
求
（2）设目前农村人口与城镇人口相等，