● 摘要
稀薄气体流动广泛存在于高空高速飞行器、真空环境和以气体为介质的微小机电系统中。随着航空航天事业的发展，飞行器和微小机电系统的设计性能不断提高，需要深入研究气体流动特点以及与物体相互作用。数值模拟是研究稀薄气体流动的重要途径。
稀薄气体动力学的理论基础是分子运动论，它通过定量描述微观分子速度分布函数研究气体流动。速度分布函数的控制方程是Boltzmann方程，该方程是一个复杂的积分-微分方程。数值求解Boltzmann方程的方法有概率论求解方法和直接求解方法。基于概率论的直接模拟Monte Carlo（DSMC）方法摒弃了方程的复杂形势，从唯象模型出发模拟气体分子的运动和碰撞，具有数值稳定、易于发展恰当的物理化学模型的优点。但粒子方法的本质要求计算网格尺度和时间步长小于分子平均自由程和平均碰撞时间，并要求通过大量统计减小噪声，导致其对近连续流动、低速流动和非定常流动模拟计算量大、存储空间消耗高，与宏观方程耦合计算复杂。离散速度坐标法（DOM）是直接求解Boltzmann方程的方法，该方法使用离散速度坐标代替连续速度空间，得到离散速度分布函数的控制方程组，然后使用传统计算流体力学（CFD）方法求解，因此具有无统计噪声、可发展高阶空间离散格式和时间隐式格式、可直接与宏观方程耦合求解的优点，非常适合求解低速流动和非定常流动。但Boltzmann方程有7个自变量，离散求解计算量仍然很大，且直接求解方法存在数值稳定性问题，因此需要发展高精度、稳定的数值算法。
高阶有限差分方法（FDM）和有限体积方法（FVM）已用于求解Boltzmann方程。龙格-库塔间断伽辽金（RKDG）方法是基于有限元（FEM）格式的高精度CFD方法，具有易于处理复杂几何边界、易于得到高精度的通量和边界条件，易于并行等优点，且已证明相同精度格式，RKDG方法比FDM或FVM方法的离散效率更高。该方法已用于求解气动声学、核物理、流体力学等问题，但在稀薄气体动力学计算中的应用还非常少。本文开展了求解Boltzmann模型方程的RKDG算法研究，并使用该方法研究了微尺度振荡方腔流动和非定常羽流及力效应这两个稀薄气体流动问题。
深入研究求解Boltzmann模型方程的RKDG算法，包括速度空间离散方法、物理空间离散方法、数值通量和边界条件、时间推进格式，提出了保持算法精度的碰撞项守恒离散方法，碰撞项守恒离散是算法稳定性的重要保证。提出了有效的并行计算策略。针对RKDG算法在计算存在强激波流动时，会出现非物理振荡使算法失稳的问题，提出了能有效抑制振荡保证速度分布函数为正的限制格式。为计算非定常羽流，发展了求解轴对称Boltzmann模型方程的RKDG算法和处理移动边界的嵌入边界方法。最终建立了能计算高速/低速、定常/非定常稀薄气体流动的数值模拟方法，在物理空间可达三阶精度、时间推进可达四阶精度。开发了计算代码，并通过一系列经典算例研究了算法性能，验证了算法有效性。
使用RKDG算法求解二维二速度BGK模型方程，研究了不同Kn数和振荡频率时的周期切应力驱动的微尺度方腔流动，计算Kn数覆盖了近连续流到自由分子流的流动领域，计算振荡频率覆盖了从低频到高频的振荡。分析了流动形态、动力学响应和顶盖阻力系数随Kn数和振荡频率变化的规律。使用RKDG算法求解轴对称三速度ES-BGK模型方程，计算了6.8×10-2 g/s模型发动机定常和非定常真空羽流场和气动力效应，分析了非定常羽流场特点，讨论了定常和非定常流场及气动力效应的差异。