当前位置：问答库＞考研试题

华中科技大学2004年《数学分析》试题及解答

以下每题15分

1．设x 0=0，x n =n ∞∑a

k =1k （n ≥1），x n →b （n →∞）．求级数∑a (x n n =1n +x n −1) 之和．

，得 解 由a n =x n −x n −1（n ≥1）

∑a (x n

n =1∞n 2222+x n −1) =∑(x −x ) =lim ∑(x k −x k −1) =lim x n =b ． 2n 2n −1n =1n →∞k =1n →∞∞n

．证明f '(x ) ≤1（0

证明 将f (1)、f (0)在x 点（0

11f '(x ) ≤(1−x ) 2f ''(ξ) +x 2f ''(η) ≤(1−x ) 2+x 2≤1． 22

22此不等式可以改进为：f '(x ) <1（0

3．设f (x , y ) 有处处连续的二阶偏导数，f ' x (0,0)=f ' y (0,0)=f (0,0)=0．证明 f (x , y ) =∫(1−t )[x 2f 11(tx , ty ) +2xyf 12(tx , ty ) +y 2f 22(tx , ty )]dt ． 01

证明

1∫10(1−t )[x 2f 11(tx , ty ) +2xyf 12(tx , ty ) +y 2f 22(tx , ty )]dt 11df (tx , ty ) d 2f (tx , ty ) df (tx , ty ) +∫ =∫(1−t ) =(1−t ) 00dt dt dt 2

=−df (tx , ty ) 1+f (tx , ty ) 0 dt t =0

=−(xf 1' (0,0)+yf 2' (0,0))+f (x , y ) −f (0,0)=f (x , y )

4．设f (x , y ) 在x , y ≥0上连续，在x , y >0内可微，存在唯一点(x 0, y 0) ，使得x 0, y 0>0， f ' x (x 0, y 0) =f ' y (x 0, y 0) =0．设f (x 0, y 0) >0，f (x ,0) =f (0,y ) =0（x , y ≥0）， x 2+y 2→∞lim f (x , y ) =0，证明f (x 0, y 0) 是f (x , y ) 在x , y ≥0上的最大值． 证明 （反证法），假设f (x 0, y 0) 不是f (x , y ) 在x , y ≥0上的最大值。由于2lim 2x +y →∞f (x , y ) =0，