题目：若干流体力学模型中非线性波和涡的研究

本博士论文主要研究了以下三个方面的内容：（1）在Korteweg-de Vries（KdV）和Kadomtsev-Petviashvili（KP）类水波系统中非线性波的传播和相互作用；（2）由非线性Schrodinger（NLS）类方程描述系统中的孤子动力学，及它们在非线性光纤和Bose-Einstein凝聚态中的应用；（3）非线性电渗流中涡的动力学。本博士论文的研究方式主要是解析分析结合数值模拟。第二章研究了浅水波模型及其修正形式中非线性波的相互作用。本博士论文首先利用符号计算建立了修正KP方程的多波前解，之后分析了多波前间的非弹性相互作用。基于特征线和特征面方法，本博士论文得到了描述多波前动力学的三条原则。对于修正KdV系统，论文通过符号计算建立了其可积条件，并获得了孤子和呼吸子解。论文得到了此系统在Painleve可积性下的一个广义可积条件，同时建立了更为严格的Lax可积条件。基于这些可积条件和解析解，论文讨论了孤子管理的问题，并展示了相应的参数是如何影响非线性波的动力学行为的。进一步地，当可积条件被摄动成拟可积条件时，论文通过数值模拟研究了这些局域结构的运动行为。计算结果显示可积条件的摄动会影孤子的振幅和速度，同时在此情况下，我们可以观察到一条震荡的尾波沿孤子运动的反方向分离出来。论文在弱非线性波动理论中讨论了相应的结果。第三章分析了NLS类模型中的束缚态孤子。在Bose-Einstein凝聚态和色散管理光纤的背景下，本博士论文研究了两类非自治孤子扩大效应。一是带有中心大振幅和小边翼的非自治Raman孤子，其对光纤信号的长距离传输有益。二是在Feshbach共振附近得到的带有高峰值物质波密度的Bose-Einstein凝聚态孤子。同时论文讨论了Bose-Einstein凝聚态中束缚态孤子的压缩问题，并提供了两条在孤子坍塌前增加其物质波密度峰值的途径：（1）提高轴向简谐振动的频率；（2）增加束缚态孤子的初始粘连度。在粘连度有限时，可以通过估计束缚态孤子间相互作用力来对其作用形式进行一定的解释。本章的另一内容是对高阶NLS模型中无相互作用的束缚态暗孤子的研究。我们得到了不同类型的束缚态暗孤子和孤子链，并利用数值计算检验了这些结构的稳定性。这些无相互作用的局域结构可以用于飞秒级别光脉冲的长距离传播。第四章的研究点是多模态中束缚态矢量孤子的相互作用。基于耦合NLS模型，我们根据不同波数间的相互关系对束缚态矢量孤子进行了分类。论文展示了利用参数控制束缚态矢量孤子能量分配和相互作用形式。当束缚态矢量孤子与单孤子相互作用的时候，会出现能量重新分配和作用形式变化的现象。同时借助分步傅里叶方法的数值分析反映了有强初始粘连度的束缚态矢量孤子在传播中会更加稳定。进一步地，论文研究了束缚态矢量孤子在随机环境中的运动状况。当均匀的随机扰动作用于束缚态矢量孤子的初始状态的时候，孤子破裂和扭曲是两类基本现象。当均匀随机扰动不对称时，系统中存在一个对称恢复的现象，其可能与两模态间的交叉调制相关。对于不均匀随机扰动，即扰动加载在控制方程的色散项时，我们可以观察到两个模态间存在孤子交换的现象。此种孤子交换现象与扰动振幅和孤子粘连度紧密相关。基于以上结果，我们可以在相应的随机环境中提供两条方法来抑制孤子交换的发生。最后，论文分析了与孤子交换共存的孤子分裂现象，并给出了一个描绘孤子完全分裂和不分裂边界的图表。第五章研究了在混合压力驱动微管电渗流中，微管绝缘鞘尖附近涡的动力学行为。论文利用有限元方法分析了描述此系统的Poisson-Boltzmann模型。随着Reynolds数的增加，在鞘尖附近产生的最大涡量经历了三个变化过程，在每个过程中，涡分别由不同的物理机制所主导。另一方面，我们发现外加电场、Zeta势和溶液浓度分别可以影响高Reynolds数时鞘尖后的回流区域。在有限Debye长度的假设下，论文研究了如何在此流动系统中控制上述的涡和回流区域。文中提出的控制机制在相应的微流动装置中具有一定的潜在应用价值。