题目：两类扩散的捕食-食饵模型的定性分析

本文主要分析了两类具有扩散的捕食-食饵系统的动力学性质. 由于某些种类的捕食者并不以单一的某类食饵为食, 而是具有其他可供选择的食饵. 为考察可供选择的食饵对捕食系统动力学行为的影响, 研究了下面一类模型:

$$left{ egin{array}{ll}

u_t-Delta u=ru(1-displaystylefrac{u}{k})-displaystylefrac{alpha Auv}{1+ u}, & xin Omega, t>0, \

v_t-Delta v=displaystylefrac{eta alpha Auv}{1+ u}+(1-A)v-mv, & xinOmega, t>0, \

displaystylefrac{partial u}{partial
u}=displaystylefrac{partial v}{partial
u}=0, & xin partialOmega, t>0, \

u(x, 0)=u_0(x)geq 0,
ot equiv 0, v(x, 0)=v_0(x)geq 0,
ot equiv 0, & xin Omega.

end{array} ight.$$

考虑到~Allee~效应对种群生长的影响, 以及捕食者的捕食率对食饵种群数量的依赖型, 又研究了一类具有强~Allee~效应及比率依赖的捕食-食饵扩散模型.

$$left{ egin{array}{ll}

u_t-Delta u=alpha u(1-u)(u-b)-displaystylefrac{muv}{u+v}, & xin D, t>0, \

v_t-Delta v=displaystylefrac{eta uv}{u+v}-dv, & xin D, t>0, \

u(x, t)=v(x, t)=0, & xinpartial D, t>0, \

u(x, 0)=u_0(x)geq 0,
ot equiv 0, v(x, 0)=v_0(x)geq 0,
ot equiv 0, & xin D.

end{array} ight.$$

本文主要内容如下:

第一章介绍了两类具有扩散的捕食-食饵模型的生物背景、研究现状以及本文所需的一些预备知识.

第二章研究了一类具有食饵选择的两物种间的捕食-食饵模型正平衡态解的性质. 首先分析了正常数平衡解稳定的条件, 然后利用分歧理论得到了正平衡态解的存在性, 并且辅以数值模拟, 结果表明在一定条件下两物种可以持续共存.

第三章研究了强~Allee~效应和比率依赖型功能反应函数对物种可持续性的影响. 首先运用极大值原理得到了系统正平衡态解的先验估计, 然后选取~$d$~为分歧参数, 利用分歧理论和~Leray-Schauder~度理论, 得到了半平凡解~$(u_2^{*}, 0)$~处的局部分歧解的存在性, 并将局部分歧解延拓为全局分歧, 同时讨论了局部分歧解的稳定性.