2017年西南大学物理科学与技术学院827量子力学之量子力学教程考研仿真模拟题
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一、简答题
1． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：
2． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
3． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
时有确定的测值。
4． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
5． 如果算符表示力学量那么当体系处于
的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
6． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
它的本征值
7． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】
一级修正波函数为
二级近似能量为
其中
8． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
9． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在为
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
问
是否
得到结果在
范围内的几率
10．什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
二、计算题
11．两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.
【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为
（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为
对应能量为
.
（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是
对应能量为
.
（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的. 自旋已知
对应的本征函数有4个：
是交换反对称的，要配对称的空间波函数；
是交换对称的，要配反对称
对应能量为
.
12．在自旋态【答案】
下，求在自旋态j
下：
所以有：
现在受到微扰
的作用，
微扰矩阵元为
的空间波函数. 所以体系能量最低的态对应的波函数是
13．—体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。
【答案】至二级修正的能量公式为
和c 都是实数. 用微扰公式求
其中
分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得
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