题目：对角型Toeplitz矩阵类的相关算法研究

对角型Toeplitz矩阵在诸多科学领域具有广泛应用，很多工程计算问题最后都归结为计算对角型Toeplitz矩阵的逆矩阵和行列式及求解对角型Toeplitz线性方程组。为了最大程度地降低大规模工程数据的计算成本，设计与对角型Toeplitz矩阵相关的快速算法显得尤为关键。

本文主要研究对角型Toeplitz矩阵中的五对角Toeplitz矩阵和七对角Toeplitz矩阵的相关算法。关于五对角Toeplitz矩阵，本文通过矩阵分解和矩阵裂解建立了三对角Toeplitz矩阵和五对角Toeplitz矩阵的直接联系，并利用Sherman–Morrison–Woodbury求逆公式和计算三对角Toeplitz矩阵逆矩阵的显式公式，提出了一种计算五对角Toeplitz矩阵逆矩阵的显式公式，提高了计算精度。关于七对角Toeplitz矩阵，本文通过求解其对应的下三角Toeplitz矩阵的逆矩阵，结合Jacobi定理构造出了计算七对角Toeplitz矩阵行列式的快速算法，运算量仅为 。此外，通过对下三角Toeplitz矩阵的逆矩阵进行分块，本文设计了一种计算七对角Toeplitz矩阵逆矩阵的快速算法，运算量为 ，低于Trench-Zohar算法和Ben-Artzi-Shalom算法。

关于求解对角型Toeplitz线性方程组的AHSS迭代法，为了避免计算矩阵的最大和最小特征值，通过求解一个二元函数的极值点和计算一些矩阵的迹，本文提出了确定最优参数的新方法，降低了确定最优参数的难度。关于求解对角型Toeplitz矩阵方程，利用AHSS迭代法的思想，通过分别将系数矩阵分裂为对称部分和反对称部分，本文设计出新的快速算法，优于基于HSS类迭代法的算法。关于求解Toeplitz线性方程组，基于Sherman-Morrison-Woodbury求逆公式，通过去除一些较小的元素而实现对系数矩阵逆矩阵的不完全分解，本文构造出新的预处理矩阵，大大提高了共轭梯度法的收敛速度。

关于对角型Toeplitz矩阵的相关算法的有效性，本文的理论分析指出这些新算法具有很好的稳定性和收敛性，数值实验的结果表明这些新算法的计算精度高，运算量小。因此，本文设计出的新的关于对角型Toeplitz矩阵的相关算法可以有效地节约大规模工程数据的计算成本。