● 摘要
Quantale概念是由C. J. Mulvey于1986年在研究非交换的C$^*$-algebra的谱时引入的, 其背景是给量子力学提供新的模型. 对它的研究涉及到非交换的C$^*$-algebra, 环的理想理论, 逻辑和计算机科学等诸多领域. Quantale可以看作是Frame的一般化, 加之其丰富的序结构, 代数结构和拓扑结构, 因此其自身的内在结构也有极其丰富的内容. 本文研究了Quantale中的Pre-余核映射的相关性质, 对余Quantale以及对偶Quantale的范畴的极限和逆极限作了较为细致而深入地研究. 主要内容如下:
第一章 预备知识. 本章给出了将要用到的Quantale理论和范畴理论的基本概念和结果.
第二章 余Quantale的若干性质. 本章首先研究了余Quantale的理想, 给出了由余Quantale中任意子集合生成的(左,右)理想的具体结构, 进一步研究了(左,右)理想与映射的关系, 从而给出了(左, 右)理想余核的概念, 得到了一个映射是理想余核的充要条件; 接着对余Quantale的态射进行了研究, 讨论了余Quantale, 子余Quantale和余核映射之间的关系. 证明了余Quantale中的特殊元在态射的左伴随下保持不变的性质, 同时得到了余Quantale上的一个开映射是余Quantale态射的充要条件. 最后讨论了幂等余Quantale的一些性质, 同时对幂等左侧余Quantale进行了较为详细的研究.
第三章 Pre-余核映射以及理想与同余的关系. 本章首先给出了Quantale上的Pre-余核映射的概念, 并且研究了相关性质. 其次, 给出了Quantale意义下理想与同余的关系, 并且得到了在Quantale中同余与理想一一对应的关系.
第四章 对偶Quantale范畴. 本章研究了对偶Quantale范畴中的始对象, 终对象等特殊对象, 证明了此范畴不是点化范畴. 给出了对偶Quantale范畴等子的结构, 证明了对偶Quantale范畴有乘积,并且构造出了此范畴中的极限结构, 最后给出了对偶Quantale范畴中逆系统的定义, 得到了逆系统的逆极限结构.
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