2018年山西师范大学物理与信息工程学院620量子力学考研核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。
【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
2． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
3． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是它的本征值（非简并）和本征函数已知：另一部分很小，可以看作是加于上的微扰. 写出在非简并状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。
【答案】
一级修正波函数为
二级近似能量为 问是否
其中
4． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
5． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？
【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：
6． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子
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值不变即要求算符为厄米算符.
7． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在用算符的本征函数展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是得到结果在范围内的几率
为
8． 扼要说明：
（1）束缚定态的主要性质。
（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。
（2）
选择定则：
理论根据：电矩m 矩阵元
9． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。
【答案】不同意。因为为实函数，但可以为复函数。
10．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
二、证明题
11．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。
【答案】设
可得：（其中为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
12．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设
相应的本征能量色
【答案】由题意
第 3 页，共 49 页 是束缚态的波函数，试证明这两个波函数对应的态矢正交.
并在方程两边同时积分
有 考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有
又则
设粒子本征波函数完备集为则由正交归一化条件有
态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有 此即亦即两个波函数对应态矢正交.
三、计算题
13．设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为其中 T 为常数。（1）求很长时间后电子跃迁到激发态的概率.
已知，a 基态其中为玻耳半径.
已知，基态
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由
.
【答案】（1）根据跃迁几率公式
其中
可知，必须先求得
根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：
氢原子初态波函数为： 根据选择定则终态量子数必须是
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