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一、证明题

1． 设

为n 维随机变量，其协方差矩阵

存在. 证明:若

使得

【答案】由于使得另一方面，

方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得

2．

设明:

由又因为故有

所以由马尔可夫大数定律知

3． 证明:若

则对

有

服从大数定律.

为独立同分布的随机变量序列，方差存在.

又设服从大数定律. 【答案】不妨设

知

为绝对收敛级数，可记

否则令

因为

并讨论

即可.

为绝对收敛级数.

令

证

意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量

则以概率

1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数

并由此写出与

其

中

【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示

为

且U 与V 独立，从而有

由于

将两者代回可知，在

时，若r 为奇数，则

若r 为偶数，则

证明完成. 进一步，当当

4． 设

时，

时，

（此时要求（此时要求

否则均值不存在）， 否则方差不存在）.

是独立同分布的正值随机变量，证明:

【答案】记又因为由此得

5． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由

，则诸同分布，且由

，所以有

，知|

存在且相等，

.

，移项即得结论.

（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即

则由（1）知

是其样本，，证明

:

是的充分统计量，则

. 这说明，在均方误差准则下，

6． 设总体概率函数是对

的任一估计

令

人们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

，这说明

于是

因而

7． 设随机变量变量.

【答案】

令

两边取对数，并将

展开为级数形式，可得

所以

的方法知结论成立.

8． 设

【答案】一方面

另一方面

而

正是

的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛则由X 的特征函

数

可

得

证明:当

. 时，随机变量

按分布收敛于标准正态

，证明:

二、计算题

9． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过他未等到服务而离开窗口的次数，试求

他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内