● 摘要
小波变换是一种时频局部化或称为时频定位的工具，它克服了傅立叶分析方法表示信息时能够清晰地揭示信号的频率特性但不能反映时间域上局部信息的缺陷，而局部性质的描述无论是理论上还是在实际应用方面都是十分重要的。因此，小波被誉为“数学显微镜”。
小波变换包括连续小波变换和离散小波变换。而离散小波变换的主体部分是关于小波框架的理论。作为离散小波变换的一种重要组成部分，小波框架已在一些领域得到了成功的应用；但还有许多理论基础、应用潜能需要进一步完善和开发。
为了更进一步地理解和应用小波框架，本文先对小波变换及框架的基本理论进行了必要介绍，然后探讨和推广了小波框架的构造方法，最后给出了框架在信号消噪方面的应用。
本文着重讨论L2(R)上小波框架，共分为六章：
第一章是绪论，说明了小波框架的思想来源，特点及发展前景。框架理论最初来源于信号处理，1952年，Duffin和Schaffer[1]在研究非调和傅立叶级数时提出了Hilbert空间框架的概念，后来Daubechies，Grossman和Meyer[2] 把小波变换的理论和框架理论相结合定义了仿射框架（或称小波框架）。它的冗余性在信号分析，图象处理等应用领域有着独特的优势，有待进一步的探索。
第二章介绍了多分辨分析(MRA)和小波。多分辨分析是构造和应用小波的基础。随着多分辨分析的出现，构造小波的困难得到了较圆满的解决。多分辨分析的公式是在实际应用中逐渐产生的，这些实际应用促进了小波理论的发展。以多分辨分析为基础构造出来的小波框架可以有快速稳定的分解和重构算法。
对称性，高消失矩，插值性等不同特性的尺度函数和小波函数往往可形成”好”的小波系统, 尽管这些属性之间可能有冲突，不能兼得。有不同特性的小波系统在不同的实际应用中有着特定的作用，所以，小波的对称性，高消失矩，插值性等在小波的研究中占有重要地位，本章也介绍了有这些方面特点的小波的应用价值。
第三章综述了小波框架的基本性质。讨论了与小波紧框架相联系的滤波器组理论。所谓小波框架是指：把一个函数φ∈L2(R)通过膨胀变换(Daj, a∈R, a≠0,j ∈Z )和平移变换(Tkb , b∈R, k∈Z )后，得到的序列如果构成L2(R)的框架，则称{ DajTkbφ }j,k∈Z是L2(R)上的小波框架。上下界相同的小波框架称为小波紧框架。小波紧框架易于实现信号的完全重构，它的构造和应用往往与滤波器组相联系。小波框架是框架理论中欠发展的领域，同时它也是最具有应用价值的框架之一。一些调和分析和小波分析的专家，学者对此进行了广泛深入的的研究，得到不少的结果。
第四章探讨小波框架的构造方法，对某些已有的的结论做了进一步的推广。本章主要以三种方式构造小波框架：时域，频域，框架的摄动。其中频域中以多分辨分析为基础利用酉扩张原理(UEP)构造满足各种优良特性的紧小波框架能保证信号的完全精确重构和快速稳定的算法。在小波框架的构造中占据着举足轻重的地位。它是共轭镜像滤波器组构造正交小波的推广。
第五章研究了小波框架在数值信号处理中的应用算法。小波框架的冗余性可导致鲁棒性,意思是说冗余可以在使得低精度下获得的小波系数，却可以在相对高的精度下重构 。这在消噪、图像融合、数字水印、加密、编码等信号处理中有着独到的优势。本章主要论述了消噪方面的应用。给出了用扩张原理构造的小波紧框架消噪的算法。框架越冗余，小波系数的误差越减少，消噪的效果就越好，但同时也加大了计算量。小波框架在各个应用领域的算法和应用有待进一步的开发和完善。
第六章给出了全文的总结和展望。