2018年新疆农业大学草业与环境科学学院601大学数学1之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
2．
已知
与相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
则P 可逆，
且
3． 已知A 是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
知
故
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
4．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组
线性表示.
芄中不
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
使得
线性无关；
向量组