2018年浙江大学环境与资源学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
知
的基础解系，
即为
的特征向量
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
3． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B
存在n
个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n 阶矩阵与相似.
4．
已知对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.此时
是二重根，故
于是
必有两个线性无关的特征向量
，于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a
的值，
并求正交矩阵Q 使
为
解（2E-A ）x=0
, 得特征向量
将
正交化：
解（8E-A ）x=0，得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
二、计算题
相关内容
相关标签