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一、计算题

1． 设

（2）寻求（3）证明【答案】（1）

是来自二点分布

的无偏估计； 的无偏估计不存在.

是

的一个直观估计，但不是

的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是

是的无偏估计.

的直观估计，但不是

的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是

的一个无偏估计. 是

的无偏估计，则有

或者

上式是P 的

次方程，它最多有

个实根，而可在

取无穷多个值，所以不论取

的一个样本，

（1）寻求的无偏估计；

什么形式都不能使上述方程在

2． 设

【答案】记所以由故舍去.

所以得

则

得

上成立，这表明，如果

因为

的无偏估计不存在. 求

.

，

由此解得p=l/3或p=l.因为p=l导致X 为单点分布，即X 几乎处处为0, 这无多大实际意义，

3． 测试在有精神压力和没有精神压力时血压的差别，10个志愿者进行了相应的试验，结果为（单位:mmHg 收缩压）:

无精神压力时

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有精神压力时

是否该数据表明有精神压力下的血压的确增加？ 【答案】对此问题首先明确要检验的一对假设为:

有无精神压力下的血压不变

的10个观测值，为

（1）若假定增加值服从正态分布，可通过对增加值做单样本t 检验进行. 一对假设为

故可算出检验统计量值为

由数据可计算得到

，于是检验的p 值为

p 值小于0.05, 可认为有精神压力下的血压的确增加了. （2）由于

正数的个数为8, 从而检验的p 值为

，

先给出血压增加值:有精神压力下的血压有增加为此，

p 值大于0.05, 在显著性水平0.05得不到显著的结论，即不能认为有精神压力下的血压的确增加了.

（3）由于负的差值只有一个，其秩分别为4, 故符号秩和检验统计量为这是一个单边假设检验，检验拒绝域为查表可知的确增加了.

三者结果并不完全一致.

4． n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.

【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-l 个位置可坐，且这n-l 个位置都. 是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为

5． 设随机变量Y 服从参数为的指数分布，定义随机变量X 如下:

求和X 2的联合分布列. 【答案】

的联合分布列共有如下4种情况:

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， 下，

, 在给定n=10，

观测值4落入拒绝域，故拒绝原假设，可以认为有精神压力下的血压

所以

的联合分布列为

表

6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点:

【答案】

7． 某种福利彩票的奖金额X 由摇奖决定，其分布列为

表

若一年中要开出300个奖，问需要多少奖金总额，才有【答案】记

为第i 次摇奖的奖金额，则可得

根据题意可列如下不等式

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表得

从中解得

取k=9488（万元）即可.

的把握够发奖金.

的把握能够发放奖金.

，设奖金总额为k （万元）

，

这表明:该福利彩票一年开出300个奖需要准备9488万元，才能以

8． 有两个班级同时上一门课，甲班有25人，乙班有64人. 该门课程期末考试平均成绩为78分，标准差为14分. 试问:甲班的平均成绩超过80分的概率大、还是乙班的平均成绩超过80分的概率大？

【答案】

记

因为

甲班平均成绩超过80分的概率为

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为甲班第i 个学生的成绩

，

为乙班第个学生的成绩

，

所以由林德伯格-莱维中心极限定理，