● 摘要
1920s，芬兰著名的数学家R. Nevanlinna做了有关亚纯函数的研究工作之后，得到了相关的理论成果，在随后发表的文章中首次引进了复平面上亚纯函数的特征函数等概念，形成了Nevanlinna理论，即被人们熟知的亚纯函数的值分布理论，其中包括著名的Nevanlinna第一基本定理和Nevanlinna第二基本定理。
Nevanlinna理论提供了一种很好的研究方法，是数学史上影响颇深的成就之一。Nevanlinna理论自其问世后，不少学者对它进行了补充和扩展，使其更加完善。它的应用涉及到了诸多分支领域，诸如微分方程、函数方程、多元复变理论等等。
复差分方面的研究工作在Nevanlinna理论注入后有了较大的进展。特别地，差分对数导数引理的确立起着至关重要的作用，Halburd-Korhonen[10]和Chiang-Feng[7]分别给出了该引理的两种不同形式。随后Halburd和Korhonen [11]建立了关于复差分的Nevanlinna理论。
本文研究的课题基于Hayman猜想的差分模拟，应用解析理论中经典的Nevanlinna值分布论处理差分，去研究复域中的差分多项式的值分布和分担值的唯一性。本文主要研究对象为超越亚纯函数、超越整函数等构成的差分多项式及其k阶导数等，着重研究了分担一个值时的唯一性与零点问题，重点研究了级为零的q-平移差分多项式，它的零点情况和唯一性的问题；以及分担共同值的两个有共同特点的超越亚纯函数的差分有理表达式的唯一性问题，且这些函数的级是有穷。此外，本文还介绍了Nevanlinna的第一、第二基本定理和它的一些著名成果、常用记号等，并着重介绍了差分的对数导数引理，差分领域的第二基本定理，以及差分的乘积及其k阶导数的值分布成果。
本文中，我对论文的篇幅做了如下安排：
第一章，简单地介绍一下研究背景及文中用到的定义、定理、符号等；
第二章，重点讨论q-平移差分多项式相关的问题，如零点情况和分担一个值时得到的一些结论；
第三章，对分担共同值的有穷级的超越亚纯函数的差分有理表达式的唯一性问题做了一些论述；
第四章，研究了分担一个值CM（或IM）时，q-差分多项式的唯一性问题。