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复旦大学2001年招收硕士学位研究生考试试题

数学分析

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求极限lim −e （12分） x →1ln 2(2x −1)

f (x ) 分别在(−∞, 0) 与(0, +∞) 都是严格单调增加函数。 x x −122. 已知f (0) <0, f ' ' (x ) >0(−∞

（12分）

3. 设∫+∞

a f (x ) dx 收敛，lim g (x ) =1，问积分∫x →+∞+∞a f (x ) g (x ) dx 是否一定收敛？收敛的话，请证明之；不一

定收敛的话，请举出反例。（12分）

4. 设z =z (x , y ) 是由隐函数F (x +z z ∂z ∂z , y +) =0确定，求表达式x +y ，并要求简化之（12分） y x ∂x ∂y

22z 4

5. 用Lagrange 乘数法，解f (x , y , z ) =x +y +在xyz =1（13分） 2

6. 求曲面(x +y +z ) =3xyz 所围区域的体积。 （13分） 2223

1

π27. 证明：∫（推导过程要说明理由）（13分） =01−x 6ln 1

(−1) n +1

8. 将y =sin x , x ∈(0, π) 展开成余弦级数，并求级数∑2的和（13分）

n =14n −1+∞