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一、解答题

1． 设二次

型

（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ

）求【答案】

（Ⅰ）由

知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

为标准形，并写出所用正交变换；

矩阵A 满足AB=0, 其

中

记

值（至少是二重）

，

根据

值是0, 0, 6.

设

有

对

正交化，

令的特征向量为

有

则是

的线性无关的特征向量.

由此可知

，是矩阵A 的特征

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

则

解出

再对，单位化，得

那么经坐标变换

即

二次型化为标准形（Ⅱ）因为

又

有

所以由

进而

得

于是

2．

已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ

）求【答案】

当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，

则当g=0时，

则值的特征向量.

由

知

线性相关，不合题意.

的基础解系.

有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向

线性无关，可作为三个不同特征

（Ⅱ

）

3． 设B

是

（I

）证明（II

）证明（III

）若【答案】⑴

知的基础解系，

即为

的特征向量

矩阵

逆其中E 是n 阶单位矩阵.

且A 可对角化，

求行列式

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（II ）

（Ⅲ）设

则由

知

即

或1. 又存在可逆矩阵p ,

使或1.

4．

设n 阶实对称矩阵A

满足

（Ⅰ）求二次型

（

Ⅱ）证明[!

【答案】（Ⅰ）设

由于

从而

的规范形；

是正定矩阵，并求行列式

的值.

即或

贝

因为A

是

为矩阵A 的特征值，对应的特征向量为

又因

故有

解得

且秩

实对称矩阵

，所以必可对角化，且秩于是

那么矩阵A 的特征值为：

1

（

k 个），-1（n-k 个）. 故二次型

（Ⅱ）因为

故

的规范形为

所以矩阵B

的特征值是

：

由于

B 的特征值全大于0且

B 是对称矩阵，因此B

是正定矩阵，且

二、计算题

5． 设矩阵A 可逆，证明其伴随阵

【答案】因另一方面，因

也可逆，且知

可逆，且