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一、选择题

1． 如果

【答案】C

2． 下列算符

【答案】

3． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】

4． 如两力学量算符【答案】0

5． 设粒子处于态（ ）。

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是厄米算符，并且则下列是厄米算符为（ ）。

是线性算符的是_____。

可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为

有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为

_____。

为归一化的球谐函数，则的平均值为

【答案】B

6． 一维运动中，哈密顿量【答案】

二、简答题

7． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

8． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻

附近体积元中粒子出现的几率密度。

9． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

10．什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

11．试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

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为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

的物理含义是什

依题意

12．自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级

低能级

的原子被一个频率为

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

的。

13．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

14．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

【答案】与量子隧穿效应有关。

15．写出泡利矩阵。 【答案】

16．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】

测不准关系时有确定的测值。

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

三、计算题

17．在

表象中，求自旋算符

在

表象中的矩阵表示为：

则

的本征方程为：

a 、b 不全为零的条件是久期方程：

解得：故

的本征值为：

将本征值代入①式，可得：

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方向投影算符

的本征值和相应的本征态。

【答案】在