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一、选择题

1． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

【答案】B 【解析】

故

但当a=l时，

2． 设

则3条直线

（其中

）交于一点的充要条件是（

【答案】D 【解析】令则方程组①可改写为

其中

则3条直线交于一点

方程组①有惟一解

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）

.

由秩A=2, 可知线性无关，由秩

可知

线性相关，即

可由

线性表出，

从而

可由线性表出.

线性相关，故选D.

3． 二次型

是（ ）二次型.

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

是不定二次型，故选B.

方法2 设二次型矩阵A ，则

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B. 4． 设

其中A 可逆，则=（ ）.

A.

B.

C.

D. 【答案】C

【解析】因为

5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

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.

）

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

二、分析计算题

6． 设A , B 为n 阶方阵，且

【答案】由于E-A-B 可逆，所以有

因此有

又因为所以

由式（1）、式（2）得

由题设知A ，B 具有对称性，所以

7． 问：3是否为

的根？是几重根？再在有理数域上分解f （x ）,

所以A （E-A ）=0, 故有

可逆，证明：rankA.=rankB..

【答案】解法I 对f （x ）及其商用综合除法

.

由此可知，3是f （x ）的2重根且

解法II 求f （x ）的逐阶导数法

.

用综合除法可知：

8．

设AX=b的解

【答案】证法I 设

则由

知

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故3是f （x ）的2重根.

也是

是线性方程组AX=b≠0的解向量. 证明

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