● 摘要
作为稀疏表示和压缩感知理论的重要发展，矩阵恢复问题已成为一种新型数据获取与重构的有效方法，
高维数据矩阵面临着部分丢失或被污染情形下或通过某种线性运算得到，如何利用数据的结构恢复目标矩阵，并逐渐在信号处理、计算机视觉、
模式识别、人工智能等领域有着广泛的应用。
本文通过系统地介绍矩阵恢复的国内外研究现状、背景知识，对核范数极小化的矩阵恢复算法和应用进行了全面的总结和分析，运用矩阵的RIP性质对Schatten $p(0<p<1)$范数极小化实现低秩矩阵恢复的条件进行了分析；并讨论了$ell_{2/3}$正则化的迭代阈值算法进行稀疏信号恢复的子序列收敛条件。论文的主要内容及结果有以下几个方面：
第一章介绍本论文的研究背景及意义、低秩矩阵恢复的数学模型以及相关概念和性质、矩阵核范数极小化理论、算法和非凸$ell_p$极小化算法的研究现状。
第二章主要研究了Schatten $p(0<p<1)$范数极小化问题进行低秩矩阵恢复问题，利用矩阵的RIP条件，给出实现精确恢复的充分性条件，即$$delta_{(2+L)r}+(2/L)^{{1/p}-{1/2}}2^{{1/p}-1} sqrt{delta_{(2+L)r}^2+delta_{2Lr}^2}< 1.$$
作为推论，我们得到一致RIP界$delta_{8r}(mathcal{A})<1/2$，对于任意的$pin(0,1)$，可实现Schatten $p(0<p<1)$范数极小化问题对任意秩$r$矩阵的精确恢复；提出了加速Majorization极小化算法能够在较短时间内求解
Schatten $p(0<p<1)$范数极小化问题得到低秩解。
第三章研究了在摄动不等式成立的条件下，基于零空间性质的研究，给出利用Schatten $p(0<p<1)$范数极小化问题从线性测量$b =mathcal {A}(X_0)$中进行低秩矩阵恢复的RIP条件$delta_{2r}(mathcal{A})<1$及指数$p_0$的选择原则， $$frac{(frac{1}{2p_0})(frac{2}{2-p_0})^{frac{2}{p_0}-1}-1}{(frac{1}{2p_0})(frac{2}{2-p_0})^{frac{2}{p_0}-1}+1}=delta_{2r}(mathcal{A}).$$
第四章基于$ell_{2/3}$正则化问题的阈值表达式，建立了针对稀疏信号恢复的迭代阈值算法的子序列收敛的条件，只要观测矩阵满足$delta_{2k}<1$。
与已有的结果相比放宽了 RIP 常数的限制，使$ell_{2/3}$迭代阈值算法在压缩感知中得到更广泛的应用。
第五章研究了硬阈值追踪算法（HTP）进行低秩矩阵恢复的问题。给出含噪测量下HTP算法低秩矩阵恢复的充分条件$delta_{3r}(mathcal{A})<1/sqrt{3}$，
可以在多项式时间内精确恢复秩$r$矩阵。