题目：基于符号化演算工具的变系数KdV方程解析解的研究

孤子作为一种普遍存在的非线性现象，一直是众多学者们关注的热点。随着计算机技术的发展，尤其是符号演算的出现，孤子理论得以快速发展。其中 KdV (Korteweg-de Vries) 方程是最早用于描述孤子现象的一类经典的非线性发展方程。变系数 KdV 方程由于其系数的特点而具有更好地描述非线性现象如海洋内孤立波等的能力。
然而，如何获得更多的方程解析解是非线性发展方程应用研究过程中的一个关键问题，也是孤子理论研究的重要问题。本文借助符号化演算工具对变系数 KdV 方程及其解析解展开深入研究。论文的主要成果包括以下几方面：

1. 研究广义变系数 KdV 方程 (简称 gvcKdV 方程) 的守恒律及贝尔多项式方法，
利用单孤子解和 N 孤子解探索 gvcKdV 方程描述海洋内孤立波的能力及内孤立波的传播特性。首先，利用单孤子解推导出内孤立波的振幅、基高和波速的物理表达式，并借助实验来分析方程中微扰项系数、非线性项系数及外力项对内孤立波的影响。其次，利用 N 孤子解对中国南海内孤立波的 SAR (Synthetic Aperture Radar) 图进行模拟，所得模拟结果与真实 SAR 图呈现高度相似。

2. 利用两种相似约化方法对变系数 KdV 方程的性质及求解展开研究。首先应用 Lie 群经典无穷小变换，对带有非均匀介质作用的变系数 KdV 方程进行研究。文中探讨了十二种变系数情况的群变换和向量场，并利用最优系统获得了大量的群不变解，即原方程的精确解。同时，根据所得结果探讨了方程基于 Lie 变换的守恒律，给出了两种情况下的守恒向量，并证明出该方程具有准自伴随性质。其次，利用 CK 直接法对上述两个变系数 KdV 方程分别进行约化求解，得到了方程新的解析解。

3. 利用符号化演算工具 Mathematica 自动化实现 Lie 群变换过程中繁琐的公式定义及重复度高的计算过程。其一，构造全导数和延拓无穷小量公式的树状结构，并通过遍历自动化得到公式结果；其二，归纳 Lie 括号和伴随变换的计算规律，给出适用算法并将其实现，从而减轻了繁琐易错的手工计算任务，保证了研究结果的正确性和可靠性。

作者希望论文对内孤立波的分析和模拟能为海洋内波的研究提供一定的借鉴价值，并希望文中得到的变系数 KdV 方程的解析解能够为方程的实际应用提供理论基础。