2018年天津大学理学院837量子力学之量子力学教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、简答题
1． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
2． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。
【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。
（3）将体系的状态波函数
用算符的本征函数展开：
则在
盔中测量力学量得到结果为
（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程
其中是体系的哈密顿算符。
的几率是
得到结果在
范围内的几率是
得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。
3． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
4． 波函数是否描述同一状态？
【答案】
与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
5． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
6． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级的。
7．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
8． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
的对易关系.
的原子被一个频率为
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
二、计算题
9． 分别在【答案】（1
）在
故：令
因此有：由可得：
有：
因
是厄米算符，
有
所以
即a 、d 为实数
，
表象中，求出表象中
的矩阵表示，并求出由
表象到
知
表象的变换矩阵。的本征值为±1，
应为对角矩阵，对角元为的本征值，由
所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。
由
而
所以
有：
取
则：
取（2）在
则
（比较在
表象中，
再求得
最后求得
表象中，方法同上。先令
表象到
表象的变换矩阵。
设其基矢为
（3）下面求由的本征值为：求
的本征矢，对于本征值有：
再归一化，得：对于本征矢
可得：
所以，变换矩阵为：取
有：
10．已知氢原子在t=0时如下处于状态：
其中，
为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出t
将t=0时的波函数写成矩阵形式：
＞0时的波函数。
【答案】已知氢原子的本征值为：
利用归一化条件：
于是，归一化后的波函数为：