● 摘要
压缩感知是近年来信息处理理论中的热点研究领域, 其核心理论是：具有稀疏性的高维信号可以通过远低于奈奎斯特采样率的线性采样而实现精确重构.该理论为数据的采集和压缩带来了革命性的变革, 近年来在各个领域引起了专家学者的广泛关注和研究,被美国科技评论评为2007年度十大科技进展.
压缩感知将对信号非自适应的线性观测值作为采样结果; 同时通过求解优化问题实现对信号的恢复.其特点是将采样和压缩同步进行, 从而大大降低了采样端付出的成本.观测矩阵以及稀疏恢复算法的设计是压缩感知中的关键节, 二者以观测矩阵的RIP性质为桥梁相互联系, 密不可分.
本博士学位论文针对压缩感知中一些重要稀疏恢复算法,运用观测矩阵的RIP性质对其稀疏恢复的条件进行了分析.
第一章阐述了论文的研究背景及意义, 简要介绍压缩感知、观测矩阵以及稀疏恢复算法的研究现状, 最后给出论文的内容与结构.
第二章研究非凸$ell_p$$(0
第三章研究了经典的OMP算法在含噪声情形下稀疏支集恢复所需的RIP条件无噪情形下这方面已有很多研究成果,而含噪情形下的定量结果为数不多. 我们分别考虑了$ell_2$有界噪声, $ell_infty$有界噪声以及统计中常见的高斯噪声模型并给出了相应的结果.其中对于观测矩阵 RIP 条件的要求$delta_{K+1}<frac{1}{sqrt{K}+1}$与无噪情形下的最好结果一致.
第四章考虑了基于$ell_1$范数的梯度下降投影算法, 给出了保证迭代 IST算法稀疏恢复的RIP条件. 结果指出$delta_{3k}<0.25$ 可以保证 IST 算法稀疏恢复的收敛性, 有些情况下, 该RIP界可以进一步提高.与已有的结果相比我们放宽了对RIP常数的限制, 使之能够适用于更一般的情形.
第五章考虑了迭代阈值算法HTP稀疏支集恢复的问题,给出了含$ell_2$有界噪声观测模型下HTP算法稀疏支集恢复的充分条件. 结果表明当观测矩阵满足一定的RIP 条件, 且稀疏信号的非零元素最小绝对值相比于噪声水平不要太小时, HTP算法可以在有限步精确恢复稀疏信号的支集.
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