● 摘要
大量科学研究与工程实践的问题可以用偏微分方程初边值问题来描述.耗散的非线性修正Klein--Gordon方程和对流占优的对流扩散方程就是来源于现代物理和工程实践的两类重要方程.由于方程本身的非线性性质以及求解区域的复杂性，因此很难用解析方法求解。因此，研究他们的数值求解方法有着重要的理论和实际意义.论文针对近期研究出来求解耗散非线性修正Klein--Gordon有限差分方法的缺陷和不足，根据方程特点构造了新的全隐有限差分方法. 此差分格式是无条件稳定的，所以利于长时间问题的研究.论文首次对耗散的非线性修正Klein--Gordon方程的差分格式进行了理论方面研究.用离散能量方法严格证明了有限差分格式解的一致有界性.差分格式的收敛性以及差分格式关于初值的非线性稳定性。用迭代方法求解，给出了符合物理现象的图像并证明了迭代的收敛性.Douglas和Russell的特征差分格式是求解对流占有对流扩散问题的有效方法. 论文指出了此方法还存在一定的缺陷，采用在扩散项中引入扰动因子的办法构造了修正特征差分方法.此方法在基于一次插值多项式的情况，精度比标准的特征差分方法好，而基于二次插值多项式的情况不出现物理震荡.论文用Fourier方法讨论了各类新方法的数值稳定性. 数值例子说明了方法良好的性质.
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