● 摘要
反问题在弹性力学和热传导问题中的一个经典的例子就是柯西问题：在部分边界处，位移和面力边界条件均已知，而在其它边界处位移和面力边界条件均不可知。它对应于由介质外部可测量的间接信息来确定介质内部结构的问题，因此在航空航天、机械工程、无损探伤等自然科学与工程技术领域都有着广泛的应用。航空航天的诸多领域，例如卫星回收、火箭发射、航空发动机和电子设备箱的设计中，都离不开反问题的研究。但是现行的数值计算方法大多数仍限制于求解简单的定义域，简单的本构关系和教科书上的经典问题，因此我们需要寻找更适合的方法和构造更合理的试函数以满足越来越多的当今科技和工程的需求。
我们在众多的无网格方法之中，选择了两种不同类型的无网格方法来求解单连通域/多连通域的各向同性/各向异性弹性力学柯西反问题：经典的基于Stroh理论的Trefftz配点法和对连续性要求低的无网格局部彼得洛夫-伽辽金混合配点法(Meshless Local Petrov-Galerkin mixed collocation method)。主要的研究内容包括：
1. 推导了基于复变函数公式的各向异性弹性力学的两种主要理论：Stroh理论和Lekhnitskii理论。建立了基于Stroh理论的Trefftz配点法的弹性力学控制方程。使用了特征长度用来对Trefftz基函数进行尺度化，采用简单的Tikhonov正则化方法来缓解算法的不适定性。通过若干算例对上述方法求解弹性力学柯西反问题的数值稳定性、数值收敛性、测量边界 的长度对于计算结果的影响、基函数所包含的级数的阶数 ，对于计算结果的影响进行了分析。
2. 推导了无网格局部彼得洛夫-伽辽金混合配点法（MLPG混合配点法）的弹性力学控制方程，以移动最小二乘法建立MLPG基函数，对位移和应力分别独立插值，降低了试函数的连续性，并且避免了形函数复杂的二阶导数。使用配点法在每个离散的节点处满足平衡方程、应力-位移协调方程以及边界条件。采用简单的Tikhonov正则化方法来缓解算法的不适定性。通过若干算例求解了弹性力学柯西反问题。
3. 推导了MLPG混合配点法的稳态热传导控制方程。使用移动最小二乘基函数分别对温度和热流进行独立插值，避免了二阶导数，从而简化了数值求解过程。首次采用此方法求解了传统的热传导正问题，并且求解了热传导柯西反问题。并进一步对MLPG混合配点法和Tikhonov正则化方法处理具有测量噪声情况下的柯西反问题的能力进行了深入研究。其中包括：数值稳定性、数值收敛性和不同测量边界长度对结果精确度的影响。通过若干算例对数值解和解析解进行了对比。