● 摘要
框架理论最初来源于信号处理．1952年，Duffin和Schaffer在研究非调和傅里叶级数时，提出了Hilbert空间框架的概念．当小波理论蓬勃发展时，Daubechies, Grossmann和Meyer把连续小波变换的理论与框架理论相结合，定义了仿射框架（或称小波框架）．如今的框架已经广泛应用于小波分析、信号分析、图像处理、数值计算、Banach空间理论、Sobolev空间理论、Besov空间理论等理论和应用领域的研究．
本文主要讨论了Hilbert空间中的框架、Riesz基与正交基的关系，设计了一个逼近希尔伯特变换对的小波基及索伯列夫空间中的双框架分解．本文中引用的结论大都是此方面的经典结论或是最新的结论，他们代表了此领域的研究水平和发展方向．在此基础上，我推广了部分结果，同时也给出了一些新的结果．本文共分四部分：
第一章是绪论，主要介绍了小波分析的产生、发展以及框架理论的产生、发展．
第二章介绍了框架的一些基本性质，然后主要研究了Hilbert空间中的框架、Riesz基与正交基的关系．结果表明：无冗余的紧框架即为正交基组；无冗余的框架是Riesz基．并构造了适当的反例说明线性无关的框架不一定是无冗余的框架，正交基不一定都能构成框架．
第三章首先介绍了希尔伯特变换的定义及其性质．随后在谱分解的基础上介绍了一对二进小波基的设计方法. 但是我们知道从一个已知的小波出发，利用它的希尔伯特变换来得到第二个小波, 此时第二个小波不会是有限支撑的. 所以在第三章的第二部分就设计了一个有限支撑的小波去逼近无限支撑的小波. 这个方法和Daubechies构造带有消失距的紧支撑小波的方法很相似, 只是逼近希尔伯特变换要用到一个平坦延迟的滤波器．
第四章的第一部分介绍了索伯列夫空间的定义与索伯列夫空间的多分辨分析及其性质．第二部分研究了当仿射框架的生成元满足一定的正则性和消失距条件时,索伯列夫空间中的函数能以稳定的方式进行双框架分解. 并且给出了索伯列夫空间函数的双框架分解的三种结构: 齐次分解,非齐次分解与有限分解．
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