题目：几类脉冲种群竞争系统正周期解的存在性

    近年来,脉冲微分方程在种群生态学上的应用得到了飞速的发展。脉冲微分方程较之相应的无脉冲的微分方程能更准确地描述生态系统中的很多现象, 如对于一个种群系统,种群数量的发展变化经常有下面的特点,当经历一个相对较长时间的光滑变化过程后,由于收获、放养、疾病等其他干扰作用,在一定的时刻种群数量会发生突变,由于突变过程同整个发展过程相比非常短暂,对这类生态现象就需要用具有脉冲作用的微分方程系统,即脉冲微分方程模型来描述和研究。
 
         脉冲微分方程的研究始于上世纪六十年代, 近年来,脉冲微分方程基本理论及应用方面的研究都得到了很大发展。利用脉冲微分方程描述和研究生态系统的发展过程是近年来脉冲微分方程应用研究的一个热点。生物数学是生物学与数学的交叉学科,它是应用数学方法研究和解决生物问题, 并对与生物有关的数学方法进行理论研究的学科。利用脉冲微分系统模型描述及研究生态系统,不仅是对生态系统进行定性分析和定量研究的理论基础之一,而且是解决生态学实际问题, 优化管理 农、林、牧、渔业生态系统,提高生态经济效益的技术手段,
因此脉冲微分系统在生物数学研究中越来越受到人们的重视。
 
         本文研究了几类在周期环境中具有脉冲作用的种群竞争系统的动力学行为及一类具有脉冲收获的生态系统的优化控制问题。研究结果从理论上丰富了脉冲微分方程理论;由于脉冲微分方程具有广泛的应用背景,研究结果可用于解决一些实际问题, 具有实际应用价值。
 
         本文的主要研究内容和成果包括下面几个方面:
(1) 研究了一类周期环境中具有脉冲收获的Lotka-Volterra竞争系统正周期解的存在性。模型中脉冲函数既包含比例收获也含有常量收获,获得了保证系统正周期解存在的一组容易验证的充分条件。首先研究了相应的一维脉冲系统正周期解存在的条件以及解的一些基本性质; 以此为基础,构造一个迭代格式,利用单调迭代方法证明了脉冲竞争系统正周期解的存在定理,所用方法是构造性的, 适合于用数值方法求其周期解。
(2) 对于两类具有脉冲和时滞作用的两种群竞争系统,研究了系统正周期解的存在性和系统的持续生存性。首先对于相应的一维系统,获得了正周期解的存在唯一性并研究了对不同方程的解进行比较的有关结论;以此为基础, 对于二维竞争系统,构造了适当的迭代格式, 利用单调迭代技巧证明了竞争系统正周期解的存在性, 并对其中一类系统,利用脉冲微分系统的比较原理和一些分析技巧,证明了在一定条件下系统的持续生存性。所获得的结论推广改进了已有文献的一些结果。
(3) 研究了一类具有脉冲收获的周期生态系统的优化控制问题。对于一类单种群模型,为了经济利益, 在固定时刻对种群进行收获。选择收获努力量为控制变量,并假设性能指标函数中,收获成本为控制变量的二次函数,研究收获努力量对收益的影响,以最大经济净收益为目标确定最优收获策略。本部分将研究连续优化控制问题的思想方法推广应用到脉冲控制问题的研究中,证明了优化控制策略的存在性并获得了确定最优控制策略的优化系统。文中所研究的优化控制问题形式及所用研究方法在脉冲微分系统优化控制问题研究中都很少见到。