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华东师范大学

一九九六年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目：量子力学

专业：理论物理、光学、生物物理、学科教学论、凝聚态物理

（1）量子力学和经典力学对于粒子系统的描述有何不同？为什么？

（2）量子力学中的一个重要特点是，需要通过力学量算符和波函数的适当组合运算才能求出实验上的可测量。试举出三个例子。（应写出必要的公式） v 2（3）证明：在有心力场V （r ）中微观粒子的角动量平方L 和角动量的任一分量L i (i =1, 2, 3) 都是守恒量。

0(0a )

2π2n 2

值为E n =(n =1, 2, 3L ) 相应的本征函数为 2ma 2

ψn (x ) =2n πsin(x ) a a

现设某一粒子在该势井中的运动状态由

ψ(x ) =4

a sin πx πx cos 2 a a

描写，求该粒子的能量可能值和相应的几率。

（5）描写电子自旋的角动量沿直角坐标系各轴方向的分量为

v v v σi (i =x , y , z ) ；沿方向n =(sinθcos φ, sin θsin φ, cos θ) 的分量为σ⋅n 。

①写出这些力学量算符σi 和σ⋅n 在σz 表象是的矩阵形式。

②分别求出它们的本征值和本征函数。

③在σ⋅n 的属于本征值为+1的本征函数所描写的状态中，出现σz =+1或-1状态的几率多少？出现σx =+1或-1状态的几率又是多少？

v v v v