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一、证明题

1． 证明：数.

【答案】

由

的凸性知

所有

即

.

故

2． 设

当当即

为上的凸函数. 求证

时

在区间在

上一致连续. 上显然一致连续.

为

上的凸函数

.

因为函数.

为

上的凸函数，所以

为区间

上凸函数

函数

为

上的凸函

【答案】当

时，结果显然成立.

时，利用一个显然成立的不等式：

可导出

有

因此

时，有

设令

则

取于是当

因此

3． 设

在

在上一致连续.

.

使得

上连续，证明

则

【答案】令因

.

在[0, 1]上连续，故

记不妨设则

因

在[0, 1]上连续，

故且

时，有

因当

记时，有

则存在正整数从而当

使得当时，有

由(3) 和(7) 知，当

「时，有

综上，即证得

，

时，有

在[0, 1]上一致连续，

故对上述的正数

当

二、解答题

4． 设f 为连续可微函数. 试求

【答案】

并用此结果求

由于所以

5． 检验一个半径为2米，中心角为弦长，设量角最大误差为确

.

，现可直接测量其中心角或此角所对的的工件面积（图）

量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种方法检验的结果较为精

图

【答案】设弦长为1，则由量角引起的弦长误差

为

因此由量角引起的弦长最大误差为：

所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验，所得的结果较为准确.

6． 计算下列定积分：

【答案】

（7）先求原函数，再求积分值：

其中a 为中心角

为量角误差，从而当

时

又因为量角时的最大误差

为