● 摘要
在点集拓扑学中, 导集是拓扑空间中的一个重要概念, 对于它的基本性质以及它与其他概念之间的联系已经被深入探讨, 导集一般有两种不同形式的定义, 其中一种是通过闭包来定义的. 通过对点集拓扑学中的基本概念及相互关系深入的研究, 借助对偶范畴的思想和方法, 本文首先在拓扑空间中引入了内导集的定义, 对其基本性质及与其他概念之间的联系进行了探讨. 内导集的提出不仅提供了一种定义拓扑的方式, 而且它为研究拓扑空间的各种性质提供了一个新的途径; 在内导集的基础上提出了关联子集的概念, 作为内导集与关联子集的应用得到了不连通空间的几个等价刻画. 另外, 本文通过对FI 代数上所定义的 运算的深入研究给出了DFI 代数(分配的FI 代数) 的定义, 证明了DFI代数一定为正则的FI 代数, BL 代数, 并分别举例说明了逆命题的不成立性, 另外还得到了FI 代数成为Boole 代数的几个充要条件, 并对Boole 代数上的逻辑度量结构进行了阐述; 最后, 分别在MV 单位区间、R0 单位区间、标准G 代数和标准乘积代数上分别建立了逻辑度量 ; ; ; , 从而([0, 1]; ); ([0,1]; ); ([0,1]; ); ([0,1]; ) 成为逻辑度量空间, 文中验证了½L 为通常度量, 并对其他三个度量的性质进行了详细探讨, 最后应用拓扑学知识对其逻辑度量空间的具体结构进行了探究, 并得到一些好的结果. 论文要点及主要内容如下:一、预备知识. 第1、2 节主要介绍了点集拓扑学和逻辑代数中的基本概念和结论,第3 节阐述了导集的一些基本性质, 并论述了利用导集定义拓扑的方式. 另外, 在孤立点集定义的基础上提出了扩展孤立点集, 得到了定义拓扑的又一种方式.二、内导集及其应用. 通过对点集拓扑学中的基本概念及相互关系深入的研究, 借助对偶范畴的思想和方法, 在点集拓扑学中引入了内导集概念, 并以内导集概念为基础引入了关联子集的概念, 对它的基本性质以及和其它概念的关系进行了初步探讨, 取得了一些较好的结果. 最后, 作为内导集、关联子集的应用给出了不连通空间的几个等价刻画.三、逻辑代数上的逻辑度量结构. 首先通过对FI 代数上所定义的 运算的深入研究给出了DFI 代数(分配的FI 代数) 的定义, 讨论了其性质, 并得到了Boole 代数的几个等价形式, 并对Boole 代数上的逻辑度量结构进行了阐述; 紧接着在MV 单位区间、R0 单位区间、标准G 代数和标准乘积代数上分别建立了逻辑度量 ; ; ; , 从而([0,1]; ); ([0,1]; ); ([0,1]; ); ([0,1]; ) 成为逻辑度量空间, 最后利用拓扑学的知识对其逻辑度量空间的结构进行了详细的研究, 并得到了一些好的结果.