● 摘要
许多实际问题, 例如气象预报, 油藏数值模拟, 结构强度计算, 电磁场理论, 经济分析等, 最后都归结为求解一个或一些大型稀疏矩阵的线性代数方程组Ax=b. 关于线性方程组的解法一般有两类: 直接法和迭代法. 直接法就是经过有限步算术运算,可求得方程组精确解的方法. 迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法. 迭代法具有需要计算机的存储单元较少, 程序设计简单, 原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点, 但存在收敛性及收敛速度问题.
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法, 衡量一种迭代算法好坏的关键指标是其收敛性和收敛速度. 一般来说, 迭代法的收敛性和收敛速度与方程组的系数矩阵A 的性质有着密切的联系, 因此可以通过对系数矩阵做某些处理来提高迭代法的收敛性能. 需求和挑战促使新方法, 新理论, 新想法不断出现, 预条件技术正是一种广泛使用的加快迭代法收敛速度的有效方法.
本文主要研究了求解线性方程组的预条件PSD迭代法在不可约L阵下的收敛性与发散性. 全文共分为三章, 具体内容如下:
第一章主要介绍了选题背景和意义, 预条件迭代法的研究现状以及本文的主要内容.
第二章给出了基本迭代法, 本文主要研究的PSD迭代法和参数取特殊值时对应的迭代法, 同时介绍了文中所用到的基本定义和引理.
第三章是本文的主要内容, 即预条件PSD迭代法在不可约L阵下的敛散性分析. 在文献[1]的基础上文中一共讨论了四类预条件, 通过对比预条件作用前后迭代矩阵对应谱半径的大小, 分析了预条件PSD迭代法的敛散性, 得出敛散性比较定理, 并给出证明. 且得出参数取特殊值时每个定理对应的推论.
第四章给出数值算例, 分别选取不同参数, 通过实例比较预条件后谱半径与传统PSD迭代法谱半径之间的大小关系, 验证了该结论的正确性和有效性.
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