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一、简答题

1． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子

如果

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

归一化。

2． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为

其中

3． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

4． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

5． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

6． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？

【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变

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化。

7． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

8． 扼要说明：

（1）束缚定态的主要性质。

（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：

理论根据：电矩m 矩阵元

问

是否

二、计算题

9． 设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，

将

用

【答案】利用于是

可得即

之间的测不准关系。

和

依次表示

这个关系

和E. ，表出，其中

是能量本征值为E. ，的本征矢。

10．简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量【答案】

设

和

的对易关系

是一个算符或普通的数。以

则有

和在态中的平均值，令

式称为测不准关系。 坐标和动量

之间的测不准关系为：

11．二电子体系中，

总自旋【答案】（

写出（

）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 则自旋单态为：

）的归一化本征态记为

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自旋三重态为：

12．对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.

（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由

和由

表象中，

很容易求得

分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同

是体系总自旋平方的本征态.

的本征值与本征矢：

（2）

的本征方程

可得，

故

（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中

则题中

故

是

的本征态.

的共同本征态

其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：

1，说的本征值为±

的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符

的本征方程

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