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一、简答题

1． 什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

2． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

依题意

二、计算题

3． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：

由于动量的本征函数为

故哈密顿算符的矩阵元为：

4． 若【

答

求案

】

5． 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方对应总的自旋平方

本征值为

空间部分波函数对称时分别针对空间部分波函

的本征值为

本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为

数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符

）。 【答案】利用应能量：

对应能量：

可知，空间部分波函数反对称时：

对

空间部分波函数对称时：

6． 已知在象到

表象中，的本征函数为：

则由表

表象的变换矩阵S 是什么？

【答案】

7． 简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

三、综合分析题

8． 如图所示，刚性平面转子，长度为l ，转动惯量为I ，两端分别带电荷+Q与-Q 。

图

（1）写出转子的哈密顿量数；

（3）设上述电场很强，转子只能做小角度运动，求体系的能级及波函数。

并求的本征值与本征波函数；

设很弱，用微扰方法计算一级近似下的能级及波函

（2）如果沿x 方向加一均匀电场

【答案】（1

）转子哈密顿量

m = 0, ± 1, 土 2。

（2）微扰哈密顿量为

本征函数为对应本征值

当时

，是二度简并的。容易计算：

即的非对角元素为0, 因此，简并态可以引用非简并方式处理：

能量一级近似：则一级近似下，能级为：波函数为：

（3）如果电场很强，哈密顿量

由于很小，故

式中，

从而体系能级：

波函数：

其中，

9． 氢原子处于基态（1）求的平均值。

（2）求动量的大小的几率分布【答案】⑴

则：

其中为玻尔半径。