2018年湖南大学物理与微电子科学学院814量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、选择题
1． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】
2． 设粒子处于态系数的取值为_____
【答案】的可能值为_____ 为归一化波函数的平均值为_____。 为归一化的球谐函数，则 可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为
3． 下面哪组是泡利矩阵（ ）. A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系为
4． 下列算符是线性算符的是_____。 再由最终推导出泡利矩阵只能
【答案】
5． 对力学量进行测量. 要能得到确定结果的条件是（ ）
A. 体系可以处于任一态
B. 体系必须处于宏观态
C. 力学量必须是守恒量
D. 体系必须处于的本征态
【答案】D
【解析】若对力学量的测量得到的是确定结果，则要求体系必须处于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.
6． 量子谐振子的能量是（ ）
.
【答案】A
【解析】
由于谐振子的哈密顿算符为
而本征值为n ，
于是谐振子能量为
二、简答题
7． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
8． 写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】
9． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。
对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
10．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。
【答案】对易关系为
11．已知为一个算符么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
12．完全描述电子运动的旋量波函数为分别表示什么样的物理意义。
【答案
】表示电子自旋向
下
测不准关系为满足如下的两式 问何为厄密算符？何为试述
及位置
在处的几率密度；
表示电子自旋向上的几率。
13．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。
【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
14．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。
【答案】测不准关系
时有确定的测值。
15．斯特恩—革拉赫实验证明了什么？
【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。
（2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
16．非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。
【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符
数。
（3）将体系的状态波函数用算符的本征函数展开：
则在
盔中测量力学量得到结果为
（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程其中是体系的哈密顿算符。 的几率是
得到结果在
范围内的几率是得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。
三、计算题
17．粒子在势场
作
【答案】 利用波函数的归一化公式中运动，其中试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取