2018年厦门大学电子工程系820量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、简答题
1． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。
【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。
（3）将体系的状态波函数
用算符的本征函数展开：
则在
盔中测量力学量得到结果为
（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程
其中是体系的哈密顿算符。
的几率是
得到结果在
范围内的几率是
得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。
2． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为
测不准关系为
3． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
4． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.
叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.
第 2 页，共 40 页
为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合
5． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
6．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
7． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：
8． 简述波函数的统计解释。
圆偏光选择定则：
的对易关系.
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
9． 现有三种能级【答案】一维谐振子．
10．完全描述电子运动的旋量波函数为
分别表示什么样的物理意义。
【答案
】
表示电子自旋向
下
表示电子自旋向上
的几率。
位置
在
处的几率密度
；
试述
及
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
二、计算题
11．自旋为时，粒子处于（2）求出t ＞0时
固有磁矩为
的状态。
的可测值及相应的取值几率。
第 3 页，共 40 页
（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设t=0
（1）求出t ＞0时的波函数； 【答案】（1）体系的哈密顿算符为
在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为：在t= 0时，粒子处于为了求出
的状态，即
在泡利表象中的具体形式，需要求解满足的本征方程：
解得:于是，有：
由于，哈密顿算符不显含时间，故/>0时刻的波函数为：
（2）因为
所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计
算t=0时的取值几率就知道了t ＞0时的取值几率。 由于
的取值几率为：
因此有：
12．中子的自旋也为
磁矩为
不妨取
在
表象中，
设自旋波函数为
若中子处于沿y 方向的均匀磁场中，求自旋波函数。
）
故有：
【答案】体系的哈米顿基为：
则能量本征方程为：
久期方程为：由此可得：（1）当
时，由
并结合归一化条件
第 4 页，共 40 页
可得