● 摘要
类脂双亲分子在水(或油)中，会自发地形成双层，在较低密度下，类脂双层会形成闭合的膜泡。对人造膜泡形状的研究在过去20年来取得了较大的进展。对球形拓扑结构的膜泡，过去已对旋转对称性形状进行了深入详细的研究, 给出了实验上观察到的几个分支的相图。
对非旋转对称性的形状，目前的研究还很有限。对于实验上观察到的一类重要形状：海星形，以前用直接极小化法，只给出了一些分立的形状，而这些形状的稳定性没有研究。它们与已知的旋转对称性分支如双凹盘形与prolate shape(雪茄形)的关系也不清楚。对这些形状之间的演化也没有进行过研究。
欧阳小组曾通过对球形膜泡作较大的面积体积改变，用Surface Evolver软件获得了一些与红血球形状有关的有趣的形状。但由于没有考虑蛋白质骨架，这些形状在自发曲率模型(SC)下通常并不稳定。
本文利用Surface Evolver，在自发曲率模型下对球形拓扑膜泡, 特别是海星形膜泡的形状进行了深入研究。由于认识到Helfrich变分问题的解在泛函空间中形成分立的(可数的)解的分支，及通常较高对称性的形状具有较低的能量，通过选择具有不同对称性的初始形状进行演化并对一些参数进行调整，很容易得到具有 及 对称性的形状。研究这些形状的稳定性及它们之间的相变就是该论文的主要研究内容。
通过对形状演化的细致研究，首次揭示了一些有趣的分叉现象。此外，还得到几种实验上仍未观察到的、稳定的新形状。在无约束条件下，得到了一些具有多重对称性的Budding形。对得到的所有形状都进行了稳定性分析，得到的主要结果如下：
(1) 通过跟踪不同形状膜泡的Hessian矩阵的本征模式和本征值，确定了几种不连续的相变和相应的几种难以稳定的中间相。并发现，自发曲率(SC)模型中的大多数相变都是不连续的。
(2) 给出了几种海星形相应的稳定区间。一般情况下，稳定海星形的爪数越多，体积相对越小， 值也就越大。此外，还发现了一个可能的连续相变和两种较为简单的、非轴对称的新形状。
(3) 在SC模型中，球形拓扑下的轴对称形状的能量始终高于同一个点上所得到的非轴对称形状的能量。因此，在球形拓扑下，除一些极限点外，非轴对称形状始终是以亚稳态形式存在的。
(4) 在无约束条件下，SC模型中的形状能量收敛速度很快。在一些极限点上，很容易得到具有多重对称性的Budding形状。
作为探索性的试验，也可以算作是讨论给定边界条件下的肥皂泡问题，本文还利用Surface Evolver软件的强大功能，对一类简单的给边界条件的单侧曲面进行了讨论。通过与悬链面的解析结果比较，得到了一类简单的单侧极小曲面并确定了其平均曲率平方对面积积分的突变点。