● 摘要
量子力学是一套构造物理学理论的规则，而量子逻辑是量子力学存在的 数学基础。自从1936年，G.Birkhoff和J.von.Neumann提出量子逻辑的概念以 来，完备的复可分的无限维希尔伯特空间中的闭子空间格，作为一种正交模格， 一直是量子逻辑研究的一个主要数学模型。随着量子逻辑研究的发展，又出现了 许多新的模型。例如，有效代数作为一种量子有效模型，可以体现量子测量中的 Sharp与Unsharp问题；伪MV代数以及伪有效代数可以满足物理系统中非交换 性的需要。总的来说，基于相应量子物理系统的需要，对于量子逻辑的研究主要 集中在两个方面：一个是从运算的角度，基本出发点是态（state），研究state的凸 结构；一个是从代数的角度，基本出发点是物理系统中的可观测量（observable）， 研究所有observable组成集合的代数结构。 本文主要是从代数的角度去研究量子逻辑，主要考虑以下两种量子结构：有 效代数与伪有效代数。这两类量子结构是当前量子逻辑研究的主要对象，本文得 到的结果有助于探讨这两种结构的内部构造，这也是许多学者正在致力研究的课 题。本文的创新点主要有如下几个方面：（1）根据偏序集上Fuzzy集的特点，给出 了有效代数、δ一完备有效代数等量子结构的构造；（2）提出了几种新的unsharp 有效代数，例如anti—BZ-有效代数和S-anti-BZ-有效代数，并证明了S-anti-BZ- 有效代数的sharp元集合具有标准量子结构性质；（3）给出了广义理想，广义滤 子的概念，并分别在有效结构、伪有效结构方面得到许多好的性质；（4）沿着差 分方向，介绍了伪差分偏序集和伪布尔差分偏序集，并分别证明了伪差分偏序集 范畴等价于伪有效代数范畴、伪布尔差分偏序集代数等价于伪MV代数；（5）引 入了伪有效代数的定向极限的概念，证明了伪有效代数范畴存在定向极限；引进 了有效代数的逆极限的概念，证明了这样定义的逆极限是范畴意义下的逆极限。 文章共分为三个部分。 第一部分包含第一章，主要介绍近年来关于量子有效结构与量子伪有效结构 的研究进展以及本文必需的基本概念与结果。 第二部分包含第二、三、四章，主要研究有效代数的结构性质。各章的研究 内容叙述如下： 第二章从偏序集上的模糊子集出发，得到了某些量子结构的构造，主要给出 有效代数、δ-完备有效代数、完备有效代数、正交代数、正交模偏序集、δ-正 交模偏序集、完备正交模偏序集的构造。最后引入Fuzzy有效空间的概念，得到 了带有强序态系统的格序有效代数的一个表现定理。 第三章主要给出sharply逼近有效代数、anti-BZ－有效代数、中心逼近有效 代数和S－anti－BZ－有效代数的概念，确立了sharply逼近有效代数和anti－BZ－有 效代数之间的关系、中心逼近有效代数和anti－BZ－有效代数之间的关系。而且证 明了在S-anti－BZ－有效代数中，anti－BZ－sharp元的全体构成一个正交模格。 第四章首先给出了Orthoalgebras的广义理想和广义滤子的定义，这些定义 充分体现了广义理想和广义滤子的结构对称性；其次，证明了广义理想和局部理 想之间的等价性，通过广义理想得到了关于Orthomodular posets的一个刻画定 理，即一个Orthoalgebra是一个Orthom0dular poset当且仅当它的主理想是广义 理想；最后，确立了Orthoalgebras的广义理想和它的支撑之间的关系，建立了它 的支撑集与它的广义理想集之间的同构。 第三部分包含第五、六、七三章，主要研究伪有效代数的结构性质。各章的 研究内容叙述如下： 第五章首先引进了伪差分偏序集，特别是伪布尔差分偏序集的概念，并详细 讨论了他们的性质。然后，证明了伪差分偏序集范畴等价于伪有效代数范畴以及 一个伪布尔差分偏序集代数等价于一个伪MV－代数。最后，对于伪差分格，给出 了它的D－理想的概念，并且证明它等价于伪格序有效代数的Riesz理想，因而它 在广义Sasaki投射下是不变的。 第六章是首先借助伪有效代数中的广义右三角和广义左三角，给出了伪有 效代数中广义理想和广义滤子的定义。然后证明了广义理想和理想、广义滤子和 虑子的等价性，探讨了广义理想与局部理想之间、广义滤子与局部滤子之间的关 系。其次建立了伪有效代数中广义理想集与支撑集之间的同构。最后，引入了伪 有效代数的D-同余、Riesz同余的概念，得到许多好的性质。 第七章首先引入了伪有效代数的定向极限的概念，对于对象为伪有效代数、 态射为伪有效态射的范畴，证明了其定向极限存在；对于对象为伪有效代数、态 射为伪有效单态射的范畴，证明了其定向极限存在。然后，对于对象为格序伪有 效代数的范畴，通过选择合适的态射得到了一些与正交模格类似的性质。最后类 以于集合与拓扑中的方法，介绍了有效代数的逆极限的定义，证明了它是范畴意 义下的逆极限。