● 摘要
李群作为十九世纪末最重要的现代数学成就之一，成为连接分析、代数和几何的纽带。一方面，Olver沿着Lie的研究工作在上个世纪九十年代成功得发展了一套等价的活动标架理论，该活动标架理论与法国数学家Eile Cartan的微分形式理论有机地结合起来，获得了解决一般变换群和李伪群的不变量集合计算的递归算法，并且得到了李伪群的Maurer-Cartan结构方程新的算法。另一方面，在Klein的Erlangen纲领的指引下，现代几何开始与群理论紧密地结合起来，人们对几何的研究转到了在给定变换群下的几何对象不变量的研究和几何对象对称等问题上来了。活动标架理论很好地体现出其研究该领域问题的优越性。另外，物理学家和数学家越来越发现现代物理实质上就是基于一个假定的变换群和以给定物理场景建立的变分问题这样的一个事实，在建立变分问题模型可以通过Euler-Lagrange方程获得一个偏微分方程，然而大多数变分问题的Euler-Lagrange方程非常复杂，如何在变换群下构建与之等价的Euler-Lagrange方程是一个很有意义的工作，特别是对计算机图像处理更是意义重大。不变变分问题的研究最早是由Griffiths进行的，Olver将递归公式成功地应用到了该问题的研究，大大简化了该问题求解的复杂性。另外，不变量理论在标记曲线上是也得到了很好的应用，特别是Olver的学生Kogan和Boutin两人独立的研究了两种标记曲线，这些工作都将在本文中得到讨论和应用。
本文以Olver活动标理论为理论基础，以李伪群，不变变分问题和标记曲线三个问题为研究主线，借助符号计算研究Olver递归活动标架理论在不变量应用，并且在每章后的小结介绍该领域和活动标架理论相结合的扩展的研究工作。本文的具体工作如下：
（1）对活动标架理论的数学基础进行讨论，在李伪群理论这一章引出活动协标架的概念，进而讨论活动标架的递归算法。
（2 探讨在一般线性群下的Euler—Lagrange方程的递归算法，通过递归算法可以获得在该变换群下的迭代算子，进而可以将变分问题转化为等价的不变变分问题
(3) 利用不变变分问题获得迭代算子，通过水平集的方法对signature标记的曲线空间演化进行研究。将曲线的不变量演化方法应用在图像目标分割中，可以有效得检测出目标物体的边缘轮廓。
（4）对不同标记曲线数值化过程进行研究，利用标记曲线通过数学建模对几何对象进行对称检测，仿真实验结果表明该算法能够检测出目标对称轴，检测的准确性取决于几何对象的局部性质。对于曲率变换比较大的几何对象检测存在一定的误差，从而需要借助一些其他的诸如概率方法进一步改进算法的设计。