● 摘要
在18、19世纪初期，偏微分方程理论的关键问题之一是发现和学习在闭合形式下可积方程的分类，特别是有精确解的方程。因此，求解这些方程变得尤为重要，而分离变量法就是求解方法之一。分离变量方法由Fourier在研究热传导方程时提出，后来由Sturm和Liouville推广普及。
不变子空间法也叫广义变量分离法，是求解偏微分方程的一种普适方法。通过不变子空间方法可以得到各个领域许多非线性偏微分方程有趣的精确解。该方法受到广泛关注是基于一般高维非线性偏微分方程通常拥有变量分离解这一事实。利用不变子空间法求解非线性偏微分方程的关键是利用线性常微分方程解的子空间来构造偏微分方程和方程组所允许的不变子空间。它的主要理念是将初始偏微分方程转换为一个常微分算子。本文介绍了通过不变子空间方法求解一般非线性演化方程组的步骤。
符号计算系统在求解非线性偏微分方程精确解的过程中扮演着非常重要的角色。而本文将结合符号计算软件Maple来使我们的求解过程更简便，并且利用Maple给出解对应的三维图，这有利于对方程所拥有的解的意义、性质等的研究。
本文研究的内容包含以下几个方面：
第1章引出本文研究内容的背景及其意义。
第2章是本文的基础，首先，了解不变子空间领域的最基本也是最主要的两个问题。其次，了解不变子空间的基本分类，并对这些分类作归纳总结。
第3章主要研究了以下三个方面的内容：
1. 子空间的维度及最大维度；
2. 以多项式子空间为例，总结存在这种子空间的算子的一般表达式；
3. 对次最大及平移不变算子进行探讨。
第4章以一个变系数偏微分方程组为例研究了利用不变子空间法求解微分方程组的步骤。在假设不变子空间为二维的前提下，利用不变子空间方法有效构造了一个非线性偏微分方程组所允许的若干二维不变子空间，基于这些不变子空间获得方程组的一系列不同形式的广义变量分离解，同时基于符号计算系统Maple给出了相应的符号计算算法，该符号计算方法可以容易地由低维扩展到高维情形。
第5章是对不变子空间的扩展，研究了依赖自变量t的子空间以及子空间的局部不变性。
第6章总结全文并对求解非线性演化方程的研究进行展望。