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一、计算题

1． 动点在平面内运动，已知其运动轨迹y=f（x ）及其速度在x 轴方向的分量ux 。判断下述说法是否正确:

（1）动点的速度v 可完全确定。 （2）动点的加速度在x 轴方向的分量（3）当

可完全确定。

法向加速度及全加速度a 。

（2）加速度沿x 轴方向的分量（3）当全加速度a

可求。

2． 图（a ）所示置于光滑水平面上的槽形板和在槽形板上做纯滚动的均质圆柱的质量均为m ，连接槽形板与圆柱中心的水平弹簧的弹簧刚度系数为k. 用拉格朗日方程写出系统的运动微分方程和初积分

.

可完全确定。其大小为

故可求，

也可求，所以

及

时，f （x ）为有限值，此时

时，一定能确定动点的速度V 、切向加速度

【答案】（1）在f （x ）为有限值时，其速度可完全确定

图

【答案】系统具有两个自由度，选槽的水平线位移中

为弹簧原长处，如图（b ）所示. 系统的动能为

式中

为圆柱质心C 的绝对速度，

且有; 为圆柱的角速度，有

代入后整理得

为圆柱对质心C 的转动惯量，

有和圆柱的水平线位移

为广义坐标，其

系统为保守系统，其势能为

则拉格朗日函数为

将拉格朗日函数代入拉格朗日方程

和

运算后可得系统的运动微分方程为

因为拉格朗日函数中不显含坐标

所以对应

有循环积分（广义动量积分）

又因为系统为保守系统，其机械能守恒，即具有能量积分，为

3． 两个均质圆盘质量相同, A 盘半径为R , B 盘半径为r , 且R>r.两盘由同一时刻, 从同一高度无初速的沿完全相同的斜面在重力作用下向下做纯滚动.

（1）哪个圆盘先到达底部？ （2）比较这两个圆盘:

A. 由初始至到达底部, 哪个圆盘受重力冲量较大？ B. 到达底部瞬时, 哪个动量较大？ C. 到达底部瞬时, 哪个动能较大？

D. 到达底部瞬时, 哪个圆盘对质心的动量矩较大？ 【答案】（1）两个圆盘同时到达底部.

（2）A :冲量相同；B :动量相同；C :动能相同；D :A 盘动量矩较大.

4． 某平面任意力系向A 点简化得一个力内另一点，问:

（1）向B 点简化仅得一力偶，是否可能？ （2）向B 点简化仅得一力，是否可能？ （3）向B 点简化得（4）向B 点简化得（5）向B 点简化得

是否可能？ 是否可能？ 是否可能？

常数，即

及一个矩为的力偶，B 为平面

（6）向B 点简化得（2）可以。同上。 （3）可以。同（1）。 （4）不可以。看

（5）不可以。同（1）。

（6）可以。满足条件的力有很多。

则

是否可能？

【答案】（1）不可能。据“力的平移定理”，力可以平移，但不可以消失或改变大小。

所以与条件矛盾。

5 —起重用的夹具由ABC 和DEF 两个相同的弯杆组成, 并由杆BE 连接, B 和E 都是铰链, 尺寸．

如图1所示。不计夹具自重, 问要能提起重为P 的重物, 夹具与重物接触面处的静摩擦因数应为多大？

图1

【答案】（1）以整体为研究对象, 如图2（a ）所示。

图2（a ）

由

得F=P。

（2）以0点为研究对象, 如图2（b ）所示。 由平衡方程