● 摘要
生态学中的捕食-食饵模型的研究在过去的几十年里有了很好的结果，并且对具有扩散项的捕食-食饵模型的研究得到了许多新的结果.目前，人们运用反应扩散方程理论来研究生态领域中的数学模型,已成为一个相当热门的课题.二维捕食-食饵系统中典型的模型是Volterra-Lotka模型,如下：$$left{ egin{array}{l} frac{partial u}{partial t}-D_{1}Delta u=u(a_{1} - b_{1}u - c_{1}v) , xin Omega, t>0,\
frac{partial v}{partial t}-D_{2}Delta v=v(a_{2} + b_{2}u - c_{2}v), xin Omega, t>0,\
Bu = Bv = 0 , x in partialOmega, t>0,\
u(x,0)=u_0(x)geq 0,
otequiv 0; v(x,0)=v_0(x)geq 0,
otequiv 0, xin Omega . end{array}
ight.eqno{(0)}$$ 其中$Omega subseteq R^{n}(ngeq0)$是边界$partialOmega$充分光滑的有界区域$;Delta$为Laplace算子; $u$, $v$分别表示区域$Omega$中食饵和捕食者的密度,参数$a_{i}$, $b_{i}$, $c_{i}$, $D_{i}$ (i=1,2) 均为正常数,而边值参数$B$的形式为 $$Bu=left{ egin{array}{l} u, $或$\
frac{partial u}{partial
u}+b_{0}u,\
end{array}
ight.$$ 这里的$frac{partial u}{partial
u}$表示沿单位外法线的方向导数,$b_{0}(x)geq 0(x in partialOmega)$.人们对上面系统更多的关注是两物种能否共存或者是一物种持续生存而另一物种消亡.从数学角度来分析,即当$t
ightarrow+infty$时,上面方程的解 $(u,v)$恒为正数还是$u
ightarrow0$或$v
ightarrow0$.而在讨论的过程中，很容易看出，共存问题与平衡态系统的正解存在性紧密相关,解的渐进行为与平衡态解的性质如稳定性关系密切.于是更加凸现出平衡态问题研究的重要性,比如说解的存在性、稳定性等问题均为人们关注的热点.
本文在一般Volterra-Lotka模型的基础上,讨论了带Holling Type Ⅲ 反应扩散项和Beddington-DeAngelis 反应项的捕食系统,分别考察了如下三个具体的捕食模型：$$left{ egin{array}{l} frac{partial u}{partial t}-d_{1}Delta u=au- bu^{2} - frac{alpha u^{2}v}{eta^{2}+u^{2}}, xin Omega, t>0,\
frac{partial v}{partial t}-d_{2}Delta v=-c v+ frac{kalpha u^{2}v}{eta^{2}+u^{2}}, xin Omega, t>0,\
frac{partial u}{partial
u} = frac{partial v}{partial
u} = 0, x in partialOmega, t>0,\
u(x,0)=u_0(x)geq 0; v(x,0)=v_0(x)geq 0 , xin Omega . end{array}
ight.eqno{(0.1)}$$ $$left{ egin{array}{l} frac{partial u}{partial t}-Delta u=u(a- u - frac{buv}{eta^{2}+u^{2}}), xin Omega, t>0,\
frac{partial v}{partial t}-Delta v=v(c-v+frac{du^{2}}{eta^{2}+u^{2}}), xin Omega, t>0,\
k_{1}frac{partial u}{partial
u}+u=0, k_{2}frac{partial v}{partial
u}+v = 0, x in partialOmega, t>0,\
u(x,0)=u_0(x)geq 0,
otequiv 0; v(x,0)=v_0(x)geq 0,
otequiv 0 , xin Omega . end{array}
ight.eqno{(0.2)}$$ $$left{ egin{array}{l}frac{partial u}{partial t}-Delta u=ru-ku^{2}- frac{alpha uv}{a+bu+cv}, xin Omega, t>0,\
frac{partial v}{partial t}-Delta v=dv+frac{eta uv}{a+bu+cv}, x in Omega, t>0,\
u=v=0, xin partialOmega, t>0,\
u(x,0)=u_0(x)geq 0,
otequiv 0; v(x,0)=v_0(x)geq 0,
otequiv 0, x in Omega. end{array}
ight.eqno{(0.3)}$$ 其中$Omega subseteq R^{n}(ngeq0)$是边界$partialOmega$充分光滑的有界区域;系数参数均为正常数, $frac{alpha u^{2}v}{eta^{2}+u^{2}}$为Holling Type Ⅲ反应扩散项, $frac{uv}{a+bu+cv}$是Beddington-DeAngelis反应扩散项. 本文分三部分对这三个具体捕食模型解的性质进行了讨论. 第一章讨论了系统(0.1)在扩散系数不相同的情况下非负常数解的稳定性,运用极值原理,比较原理及Harnack不等式确定了系统(0.1)正平衡态解的一些先验估计,然后讨论了非常数解的不存在性,非常数正平衡态解的全局存在性及非常数正平衡态的分歧解.
第二章讨论了系统(0.2)平衡态系统解的性质,利用锥不动点指标和同伦不变性讨论了系统非常数共存解的存在性与不存在性, 并且考察了平衡态系统的局部分歧解的存在性、唯一性及解的稳定性.
第三章讨论了一类带Beddington-DeAngelis反应项的捕食系统在Drichlet边界条件下平衡态解的性质.利用比较原理作了解的一些先验的估计,运用局部分歧理论、特征值扰动理论和全局分歧理论.主要得到了方程$(0.3)$的局部分歧解存在的充分条件及解的稳定性, 并给出了全局分歧解存在性及其解的具体走向.\