● 摘要
流体力学中的许多问题都可以由非线性模型来描述。这些模型刻画了各种变量间相互约束的关系， 并且在一定假设条件和归一化下，可以转化为含有非线性项和对时间求导数的方程。这类方程被称为非线性演化方程。 许多非线性演化方程可用于描述流体力学中的波动问题。对这些方程的研究可以从实验和理论两个方面入手。而理论研究一般分为定性研究和定量研究两个方向。迄今为止，在定量理论研究方面，人们主要采取数值分析和解析研究两种方法。 在本篇博士论文里，我们感兴趣的问题是求出这些非线性演化方程的解析解。这不仅为物理性质的研究提供了理论依据，而且还可以指导实验。 在流体力学中，孤子是最先被观测到的一种非线性波动现象。它的应用背景涉及到自然科学领域的许多分支，例如，流体力学、等离子体物理、量子场论、粒子物理、凝聚态物理、非线性光学，以及生物学、化学和通信等。另一方面，孤子理论的发展也极大地促进了一些传统数学理论的发展。 在本篇论文中，我们感兴趣的是流体力学中某些非线性演化方程解析解中的孤子解。 随着非线性问题研究的深入，所给出的非线性演化方程越来越复杂。这给解析方法的研究带来了本质的困难。 由于求解析解没有通用的方法，这促使人们不断地发展其求解的方法。近几十年来，已经涌现了大批处理非线性问题的方法，例如，行波解、试探函数法、相似约化法、反散射方法、Painlev'{e}分析法、双线性方法、B"{a}cklund变换、Darboux变换。 本篇论文的目的是利用双线性方法来求解非线性演化方程。同时，我们期望发展新的方法来研究非线性演化方程的解。另一方面，我们期望推广常微分方程定性理论的研究方法，研究流体力学中非线性演化方程解析解的存在性和一些基本的性质。 作为准备，我们将以生物种群的Schoner两种群竞争系统和三种群捕食者食饵混合系统为例， 用重合度理论和Liapunov第二方法研究其动力学行为。 本篇论文的安排如下： 第一章简要介绍了研究背景及意义、孤子的发现过程和孤子理论的发展历史、非线性演化方程的孤子解、本文的主要创新工作及安排。 第二章主要讨论耦合方程组。基于在相对论量子力学和场论中提出的Klein-Gordon方程，讨论了其耦合数量场中的非线性Klein-Gordon方程形式，即 耦合非线性Klein-Gordon方程。主要利用了双线性方法，利用由两个奇异流形上借助于Painlev'{e}截断到常数项给出了双线性的变换，从而使耦合非线性Klein-Gordon方程转化为一个新的双线性形式。从新的双线性形式出发，借助符号计算，利用形式参数展开法我们获得耦合非线性Klein-Gordon方程的N孤子解。 第三章主要讨论高维非线性演化模型。将非线性演化方程从一维推广到高维有着重要的实际意义。 但是，与一维情形相比，高维问题的研究会带来本质的困难。同时，这也引起了人们广泛的研究兴趣。 现有的工作从各个角度，采取了很多方法来讨论高维模型的解析解。在这一章，我们从一个新的角度给出了两类高维非线性演化方程3+1维Jimbo-Miwa方程和 2+1维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的双线性形式和两种B"{a}cklund变换（即Bell多项式变换和双线性形式的B"{a}cklund变换）。 同时，还给出了孤子解。关键是利用了Bell多项式和双线性方法间的联系。 第四章主要讨论具有高阶色散项非线性演化模型。利用Bell多项式理论和双线性方法之间关系，讨论了高阶非线性演化模型的双线性形式和孤子解。 主要以流体力学中著名的Korteweg-de Vries(KdV)方程的高阶形式为例，讨论了七阶Lax KdV和九阶KdV方程。关键是利用引入一个辅助变量，才使得可以借助于Bell多项式和双线性方法之间的联系，给出了演化方程的双线性形式，并求了孤子解。 第五章主要定性地研究了生物种群系统的动力学行为。这些模型包括：两种群的Schoner模型；三种群的混合系统，其中的两个种群是具有竞争关系的食饵种群，一个种群是捕食者种群，并且均具有Hollingll型功能反应。借助于重合度理论中的延拓定理和Liapunov第二方法，我们给出了正周期解存在性和全局渐近稳定的充分条件；以及概周期解存在性和全局渐近稳定的充分条件。 最后在结束语中对论文进行了总结，并对接下来的工作进行展望。