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一、填空题

1． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】

2． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.

3． （1）体系处在用归一化波函数描述的状态. 且此波函数可以按力学量A 所对应的厄米算符的本征函数系展开. 即

认为

是归一的，则决定系数的表达式为_____。

_____。

（2）题（1）中设是算符的本征值，则力学量A 的平均值果的概率为_____。 【答案】（1）【解析】由题意考虑到正交归一化条件（2）

以及正交归一化条件

有

（3）

为确定

在上式两边乘以有

而概率应该为

为定值.

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（3）题（1）中当对体系进行力学量A 测量时，测量结果一般来说是不确定的. 但测量得到某一结

在上式两边乘以

有

【解析】由平均值定义式

并积分得

【解析】由题意考虑到正交归一化条件

并积分得

4． 粒子在一维势阱中运动，波函数为

则

【答案】 5．

【答案】主；角；磁；

6． —粒子的波函数为【答案】

则的跃变条件为_____

。若势阱改为势垒

的跃变条件为_____。

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

写出粒子位于

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。

间的几率的表达式_____。

二、选择题

7． 量子谐振子的能量是（ ）

.

【答案】A

【解析】

由于谐振子的哈密顿算符为

8． 类氢原子问题中，设原子核带正电核为现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B

9． 中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C

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而本征值为n ，

于是谐振子能量为

为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出

的共同征函数为

则关于这两个算符的本征值方程正确

10．如果算符表示力学量应的_____。

【答案】确定值；本征值

那么当体系处于的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相

11．—维问题中的哈密顿量为

哈密顿与坐标的对易式（ ）。

【答案】C

12．下面关于厄米算符的定义式中. 正确的为（ ）

.

【答案】A

【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数. 厄米算符定义式为

三、证明题

13．处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：

其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：

其中，显然有

设：

为电子动量算符，算符定义为

且和B 都

为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。

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