2018年郑州大学联合培养单位商丘师范学院650量子力学之量子力学导论考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 假定角动量平方算符的选择为（ ）
【答案】C
2． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】 3． 如果
【答案】C
4． 如两力学量算符
有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为
_____。
【答案】0
5． 正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】
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的本征值分别为和如果则可能是本征值
为归一化波函数
的可能值为_____
的平均值为_____。
为归一化的球谐函数，则
是厄米算符，并且则下列是厄米算符为（ ）。
6． —维问题中的哈密顿量为
【答案】C
哈密顿与坐标的对易式
（ ）。
二、简答题
7． 完全描述电子运动的旋量波函数为
分别表示什么样的物理意义。
【答案
】
表示电子自旋向
下
表示电子自旋向上
8． 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
9． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
10．已知为一个算符么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
11．如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？ 【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
12．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
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试述
及
位置
在处的几率密度
；
的几率。
定义电子的自旋算符，并验证它们
其中，
满足如下的两式
问何为厄密算符？何为
依题意
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
13．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
14．写出泡利矩阵。 【答案】
15．自发辐射和受激辐射的区别是什么？
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
受激辐射是处于激发能级低能级
的原子被一个频率为
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
的。
16．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
三、证明题
17．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
18．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
四、计算题
19．为电子自旋算符。写出在表象中的矩阵表示、的本征值及其对应的本征态。 【答案】
20．质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. （a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程.
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