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一、填空题

1． 一粒子的波函数【答案】

2． 总散射截面Q 与微分散射截面

的关系是_____。 则粒子位于

间的几率为_____。

【答案】

3． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。 【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

4． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

5 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】

写出粒子在球壳

中被测到的几率_____。

6． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率

二、简答题

7． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

8． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

，即用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率）

9． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。

【答案】不同意。因为为实函数，但

10．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

11．试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

12．电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

对整个空间积分也等于1。

表示粒子在

|

处

可以为复函数。

13．归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

14．完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

如果

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

试述

及

位置

在处的几率密度

；

三、计算题

15．在并将矩阵

的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.

其中本征函数：

求的本征值和归一化的本征函数，

【答案】（1）设的本征方程为：

容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为

（2）将

表象中

的三个本征矢并列，得到从

表象到

表象变换矩阵

利用变换公式：得到的对角化矩阵

16．两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.

【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为

（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为

对应能量为

.

（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是

对应能量为

.

（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的. 自旋已知

对应的本征函数有4个：

是交换反对称的，要配对称的空间波函数；

是交换对称的，要配反对称

的空间波函数. 所以体系能量最低的态对应的波函数是