● 摘要
在几何处理领域中，一个非常具有挑战性、非常普遍的问题是如何自动地从原始的粗糙的几何数据得到一个高精度的模型。我们可以把这类问题归结为如何在几何体上构造一系列结构化的带有几何信息的函数基的问题。在现有方法中，参数化可以帮助我们在模型上附加其他的属性信息，在各种属性模型之间互相转换，但全局参数化的巨大开销使得他不能成为一种普遍适用的方法。在本文中，我们从图的Laplace算子出发，研究了离散情况下的Laplace算子的特点，并扩展到了流形上，研究了连续情况下的Laplace-Beltrami算子。通过对比分析，讨论了算子特征值和特征函数的性质。Laplace-Beltrami算子的特征值（即：算子的谱）与流形的局部几何特征密切相关（第一微分基本形式），因而具有表征几何体的特点，而其特征函数之间相互正交，且包含了流形本身的几何信息与拓扑信息，成为定义在流形上的基函数的很好的选择。本文通过分析、总结现有的各种求解Laplace-Beltrami算子的理论方法，针对具体的二维流形（一般意义下的三维模型），提出了一种定义在封闭三角网格曲面模型上的Laplace-Beltrami算子的特征值与特征函数的计算方法。通过采用Laplace-Beltrami算子的特征函数作为基函数，在模型重构及网格变形领域给出了的应用性试验成果，并做出了试验分析及其他领域的应用前景分析。