2018年福建师范大学物理与能源学院844量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、简答题
1． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
2． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。
【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。
（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。
（3）将体系的状态波函数
用算符的本征函数展开：
则在
盔中测量力学量得到结果为
（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程
其中是体系的哈密顿算符。
的几率是
得到结果在
范围内的几率是
得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函
（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。
3． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
4． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
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定义电子的自旋算符，并验证它们
其中，
5． 什么样的状态是定态，其性质是什么？
【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
6． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量
用算符表示，
当体系处于某个能量态
的作用是得到这一本征值，即
当体系处于一般态
的本征态
时，算符对
的作
时，算符对态
用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即
7． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？ 受激辐射是处于激发能级低能级的。
8． 现有三种能级【答案】一维谐振子．
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
的原子被一个频率为
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；
的光子照射，受激发而跃迀到较
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机
对应中心库仑势系统，例如氢原子；对应
二、证明题
9． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
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这就意味着，此态要么是自旋朝上即都为自旋分量的本征态。在
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
10．证明么正变换不改变算符的本征值。
和
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
三、计算题
11．若两个中子的相互作用哈密顿为是什么。（设没有外场）
【答案】解法一：
设总自旋
则:
其中g 为作用常数，和
分别为两个中子的自
旋算符， 求分的本征值和本征函数。如果同时计入中子的空间波函数，则两中子体系的总波函数
而两中子的自旋波函数只有四种情况（即有4个本特征态）。 自选交换对称波函数：
自旋交换反对称波函数：
显然
与
对易，二者有共同的本征态：
即的本征值为
的对应波函数为
即的本征值为解法二：选择
时对应的函数为
表象（因为
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相互对易）。