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一、计算题

1． 已知效用函数为:

求需求函数，其中，P i ，y 分别为常量的价格和收入，i=1, 2。

【答案】消费者效用最大化问题为:

构造拉格朗日函数:

效用最大化的一阶条件为:

则消费者的需求函数分别为:

2． 画图说明垄断厂商短期和长期均衡的形成及其条件。

【答案】（1）短期均衡的形成及条件

垄断厂商若要获得最大利润，必须遵照MR=MC的原则。在短期内，垄断厂商无法改变不变要素的投入量，它是在既定生产规模下通过对产量和价格的同时调整，来实现MR=MC〕的利润最大化原则的。这可用图来说明。

垄断厂商的短期均衡

图中的，SMC 曲线和SAC 曲线分别为短期边际成本曲线和短期平均成本曲线。为符合利润最大化的均衡条件，将产量和价格分别调整到Q 1和P 1的水平。在短期均衡点E 上垄断厂商的平均收益为FQ 1，平均成本为GQ 1，平均收益大于平均成本，垄断厂商获得利润。单位产品的平均利润为FG ，总利润量相当于图中HP 1FG 部分的矩形面积。

垄断厂商只有在MR=SMC的均衡点上，才能获得最大的利润。这是因为，只要MR>SMC垄断厂商增加一单位产量所得到的收益增量就会大于所付出的成本增量。这时，厂商增加产量是有利的。随着产量的增加，如图所示，MR 会下降，而SMC 会上升，两者之问的差额会逐步缩小，最后达到MR=SMC的均衡点，厂商也由此得到了增加产量的全部好处。而MR

垄断厂商在MR=SMC的短期均衡点上，或者获得最大的利润，或者获得最小的亏损。 总之，垄断厂商短期均衡条件为

:MR=SMC。

（2）长期均衡的形成及条件

在长期，垄断厂商是根据MR=LMC利润最大化原则来确定产量和价格的，而且，垄断厂商还通过选择最优的生产规模来生产长期均衡产量。所以，垄断厂商在长期可以获得比短期更大的利润。

如图所示，d 曲线和MR 曲线分别表示垄断厂商的市场需求曲线和边际收益曲线，LAC 曲线和LMC 曲线分别为垄断厂商的长期平均成本曲线和长期边际成本曲线。

垄断厂商的长期均衡

假定开始时，垄断厂商是在由SAC 1曲线和SMC 1曲线所代表的生产规模上进行生产。短期内垄断厂商只能按照MR=SMC原则，在现有的生产规模上将均衡产量和均衡价格分别调整为Q 1和P 1。在短期均衡点E 1上，垄断厂商获得的利润为图HP 1AB 的面积。

在长期中，垄断厂商通过对生产规模的调整，进一步扩大利润，按照MR=LMC的长期均衡原则，它的长期均衡点为E 2，长期均衡产量和均衡价格分别为Q 2和P 2，垄断厂商所选择的相应的最优生产规模由SAC 曲线和SMC 2曲线代表，此时，垄断厂商获得了更大的利润，其利润量相当于图中较大的面积IP 2FG 。

如图所示，在垄断厂商的MR=LMC长期均衡点产量上，代表最优生产规模的SAC 曲线和LAC 曲线相切于G ，相应的SMC 曲线、LMC 曲线和MR 曲线相交于E 2点，所以，垄断厂商的长期均衡条件为:MR=LMC=SMC，目π>0。

3． 若一国粮食市场的需求函数为Q d =6-O.5P，供给函数为Q s =3+P。为支持粮食生产，政府决定对粮食进行每千克0.5元的从量补贴（产量单位为亿吨，价格单位为元/千克）。试问:

（1）实施补贴后，粮食的均衡价格和均衡产量分别是多少?

（2）每千克0.5元的补贴在生产者和消费者之间是如何分配的?

（3）补贴之后的财政支出增加额是多少?

【答案】（1）当政府对厂商进行补贴后，供给函数变为:

市场均衡条件为:Q =Q，代入需求函数和供给函数可得:

求解可得均衡价格和产量分别为:（2）假设无政府补贴，市场均衡条件为:

求解可得均衡价格和均衡产量为:P=2（元），Q=5（亿吨）。

尽管政府补贴了厂商，但是消费者从中也可以得到好处。从两个均衡价格的差价来看，消费者每千克粮食节省了1/3元，厂商每千克粮食多收1/6元。即在政府每千克0.5元的补贴中，消费者获得了1/3元，厂商获得了1/6元。

（3）辛上贴之后，政府财政支出的增加额为:

4． 厂商的短期生产函数为

素的投入量。

（1）MP L 及AP L 函数。

（2）L 投入量为多大时，MP L 将开始面临递减?

（3）该厂商的最大产量是多少? 为达到这个最大产量，L 的投入量应为多少?

【答案】（1）根据厂商短期生产函数Q=72L+15L-L ，可得: 边际产量函数为;

23d s 。 ，（亿元）。 ，其中Q 和L 分别代表一定时间内的产量和可变要