● 摘要
极限环的分岔问题是常微分方程定性理论与动力系统中的一个非常经典的问题．它主要是运用隐函数定理和拓扑度理论等方法来解决极限环的存在性，稳定性及相对位置关系等问题. 1900年，在巴黎的第二届国际数学家大会上，Hilbert提出著名的23个数学问题. 其中第16个问题的后半部分就是确定：平面多项式系统的极限环的数目和分布问题. 关于Hilbert第16问题，已经取得重要进展. 比如，已经证明对任意给定的多项式向量场，其极限环的个数是有限的. 本文主要是在Hilbert第16问题的已有结果基础上，利用极限环的分岔理论，并综合复分析的知识和方法等，进一步讨论关于三次，四次Hamilton系统等更高次数的Hilbert第16问题. 首先，对扰动后的三次Hamilton系统进行讨论. 我们先对一类特定的三次Hamilton系统，经任意n次多项式扰动后，给出了其在周期环域中所产生的极限环个数的上限；同时，在相似的条件下，给出了一类Abel积分零点个数的上限；然后，对于一般的三次Hamilton系统经任意n次多项式扰动后，给出其在周期环域中所分支出的极限环个数的一个一致上界，从而部分地解决了弱Hlibert第16问题中关于多项式扰动后的三次Hamilton系统的极限环分岔问题. 其次，给出了次数大于等于四次的Hamilton系统所对应的Abel积分构成的函数空间的Chebyshev性质，从而给出了该类Abel积分的零点个数的估计. 最后，把定性理论知识应用到生物学中去. 建立了西尼罗河病毒在蚊子和两类鸟:乌鸦类和非乌鸦类之间传播的模型，改进了仅把所有鸟作为一类种群的已有模型. 通过对该模型进行稳定性分析及分岔情况分析，证明了该系统会出现后向分岔，从而得出结论: 仅仅通过基本再生数R0是不能说明西尼罗河病毒是可以控制的；西尼罗河病毒是否会再度爆发，还要依赖于其开始在蚊子与鸟之间传染时的初始状态；同时也说明: 西尼罗河病毒的传染开始一段时间后，即使人们看不到死亡的乌鸦，西尼罗河病毒的传染也会再度爆发，因为非乌鸦类由于因病死亡率较乌鸦类低很多，所以非乌鸦类作为带菌者仍使西尼罗河病毒有再度爆发的可能性.