2018年厦门大学物理系820量子力学考研核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？
【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。
2． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
3． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
4． 如果算符
表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
5． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
6． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
7． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平
均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
8． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
9． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。
【答案】不同意。因为
10．简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。 函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在为
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
得到结果在
范围内的几率
为实函数，但
可以为复函数。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波
二、计算题
11．考虑自旋为的系统。 （1）试在
表象中求算符
的本征值及归一化的本征态。其中
是角动量算符，
而4、5为实常数。
（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为
有
则在
设
解得本征态为：
（2）在
表象中，
的本征态为
故发现
的概率为：
表象中
为归一化的本征态，
则由本征方程
12．已知二阶矩阵A 、B 满足：【答案】根据定义由于
故得：
有：
在B 表象中，求出矩阵A 、B 。
由此式求出B 的本征值为0，1。
在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：
设：
则有：
由③可得：由③可得：由式⑤、⑥可得：表示：
由①、⑦表示的A 、B 已满足题设条件。故α可取实数。令α=0, 则:
13．已知（1）利用（2）求
在
的本征态
在
是泡利矩阵，表象中的表达式，求
在
可由
的本征态经绕x 轴转动
表象中的本征态矢
试由此
角的坐标变换而得，即
可取
为实数），代入②式，即得B 表象中A 的矩阵
表象的表达式，并与（1）所得结果比较。
【答案】（1）易知：